Chủ đề này có 12 trả lời

[Mai Xuan Son]

Nhưng chúng ta đã biết nguyên lí $Dirichlet$ có ứng dụng rất lớn trong giải các bài toán rời rạc,số học,....

Mục tiêu của topic nhằm giúp các bạn hiểu,áp dụng,tích trữ kinh nghiệm để giải các bài toán một cách thành thạo.

Mong mọi người ủng hộ và làm topic thêm sôi động

Nguyên lí $Dirichlet$ được phát biểu như sau:
-Nếu nhốt $n+1$ con thỏ vào $n$ lồng thì có 1 lồng chứa ít nhất 2 con
-Nếu nhốt $m.n+1$ con thỏ vào $n$ chuồng thì có 1 chuồng chứa ít nhất $m$ con thỏ
-Nếu nhốt $m$ con thỏ vào $n$ chuồng $m>n$ thì có 1 lồng chứa ít nhất $[\frac{m}{n}]+1$ con thỏ

Bài 1:
Trong hình vuông có cạnh bằng 1 đặt 51 điểm bất kì phân biệt.Chứng minh có ít nhất ba trong số 51 điểm đó nằm trong 1 hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$

Bài 2:
Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ ba điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1.
Chứng minh tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-11-2012 - 22:34

[Sagittarius912]

Nhưng chúng ta đã biết nguyên lí $Dirichlet$ có ứng dụng rất lớn trong giải các bài toán rời rạc,số học,....

Mục tiêu của topic nhằm giúp các bạn hiểu,áp dụng,tích trữ kinh nghiệm để giải các bài toán một cách thành thạo.

Mong mọi người ủng hộ và làm topic thêm sôi động

Nguyên lí $Dirichlet$ được phát biểu như sau:
-Nếu nhốt $n+1$ con thỏ vào $n$ lồng thì có 1 lồng chứa ít nhất 2 con
-Nếu nhốt $m.n+1$ con thỏ vào $n$ chuồng thì có 1 chuồng chứa ít nhất $m$ con thỏ
-Nếu nhốt $m$ con thỏ vào $n$ chuồng $m>n$ thì có 1 lồng chứa ít nhất $[\frac{m}{n}]+1$ con thỏ


Bài 2:
Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ ba điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1.
Chứng minh tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm.

không mất tính tổng quát giả sử 2 điểm có khoảng cách lớn nhất là AB. dựng trên tia AB điểm C sao cho AC=1. kẻ 2 đường tròn bán kính 1 tâm là A,C. khi đó theo nguyên lí Dirichle sẽ có ít nhất 13 điểm trong 25 điểm đã cho nằm vào 1 trong 2 đường tròn=> dpcm

[Mai Xuan Son]

Bài 3
Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô màu đen hoặc đỏ.Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác đều mà 3 đỉnh có cùng màu
------------------------
nguồn:Thi HSG Áo 1991

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 03-11-2012 - 23:25

[Sagittarius912]

Bài 4: Cho bảng vuông gồm n.n ô, mỗi ô tô viết 1 trong 3 số 0;1;2. CMR không tồn tại bảng vuông nào mà tổng các số trên cột, hàng và đường chéo là các số khác nhau
Bài 5:Cho 6 điểm trên măt phẳng sao cho bất kì 3 điểm nào cũng là đỉnh của 1 tam giác có các cạnh chiều dài khác nhau. CMR tồn tại 1 cạnh là cạnh nhỏ nhất của 1 tam giác, vừa là cạnh lớn nhất của 1 tam giác khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 03-11-2012 - 23:12

[Sagittarius912]

Bài 1:
Trong hình vuông có cạnh bằng 1 đặt 51 điểm bất kì phân biệt.Chứng minh có ít nhất ba trong số 51 điểm đó nằm trong 1 hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$

chia mỗi cạnh của hình vuông đã cho thành các đoạn 0,2 liền nhau. khi đó ta sẽ có 25 hình vuông cạnh 0,2. theo nguyên lí dirichle thì có 1 hình vuông nhỏ chứa ít nhất 3 diểm. nhận thấy hình vuông này có diện tích là $S=0,2^{2}< \left ( \frac{1}{7} \right )^{2}\pi$. vậy có ít nhất 3 trong 51 điểm đã cho nằm trong hình tròn bán kính 1/7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 05-11-2012 - 17:54

[milinh7a]

chém bài 4: có 2n+2 tổng, mỗi tổng có giá trị từ 0 đến 2n+1, suy ra phải có 2 tổng bằng nhau -> vô lý.
topic buồn ri

[minhlaai29]

Bài 3
Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô màu đen hoặc đỏ.Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác đều mà 3 đỉnh có cùng màu
------------------------
nguồn:Thi HSG Áo 1991

http://i.upanh.com/vykjpy
Xét$\Delta ABC$ bất kì trong mặt phẳng, nếu 3 điểm A,B,C cùng màu thì ta có ĐPCM.
Nếu A,B,C không cùng màu, không mất tính tổng quát giả sử A,B màu đen, C màu đỏ.
Xét O là trọng tâm $\Delta ABC$, có 2 trường hợp sau :
TH1: O màu đen.
Dựng lục giác đều AEBFCD như hình vẽ có O là trọng tâm.
Nếu D,E,F cùng màu ta có ĐPCM.
Nếu D,E,F khác màu, ta lại có nếu 1 trong 3 điểm D,E,F màu đen thì 1 trong 3 tam giác $\Delta OAD, \Delta OAE, \Delta OBF$ là tam giác thỏa mãn đề bài
TH2: O màu đỏ.
Dựng H như hình vẽ, ta có $\Delta CDH, \Delta AFH$ đều.
Nếu D,E,F cùng màu ta có ĐPCM.
Nếu D,E,F khác màu, khi đó nếu F hoặc D màu đỏ thì $\Delta OCF, \Delta OCD$ là tam giác thỏa mãn.
Nếu trong D,E,F có 2 điểm màu đỏ thì phải có ít nhất F hoặc D màu đỏ => lý luận như trên.
Nếu E đỏ, D,F đen, xét màu của điểm H:
Nếu H đỏ => $\Delta CEH$ thỏa mãn
Nếu H đen => $\Delta ADH$ thỏa mãn.
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn tìm được tam giác thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhlaai29: 05-11-2012 - 22:06

[Mai Xuan Son]

Bài 6: Trên đường thẳng cho 50 đoạn thẳng. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai khẳng định sau là đúng.

• Tồn tại 8 đoạn có điểm chung.
• Tồn tại 8 đoạn đôi một không có điểm chung.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 07-11-2012 - 20:34

[minhlaai29]

Bài 6: Trên đường thẳng cho 50 đoạn thẳng. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai khẳng định sau là đúng.

• Tồn tại 8 đoạn có điểm chung.
• Tồn tại 8 đoạn đôi một không có điểm chung.

Một cách phát biểu khác dễ hình dung hơn cho bài toán là
Bài 6 ': Cho một nhóm gồm 50 người bất kì, chứng minh rằng trong đó tồn tại 8 người quen biết lẫn nhau hoặc không quen biết lẫn nhau.

[VMFdiendantoanhoc]

Tặng mấy bạn 2 bài:
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi $n$ chúng ta có thể chọn ra $3$ số phân biệt từ tập $2n+1$ phần tử của tập $K_{n}=${$x\in\mathbb{Z}|1-2n\leq{x}\leq{2n-1}$}
Bài 8: Với số nguyên $n\leq{1}$, hãy tìm số nguyên $K$ nhỏ nhất $3\leq{K}\leq{2n+1}$ sao cho từ tập con $X$ gồm $K$ phần tử của tập {$1,2,..,2n+1$} bất kì luôn chọn ra được $3$ số $x,y,z$ phân biệt mà $x+y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VMFdiendantoanhoc: 18-11-2012 - 16:15

[truong9bthcstb]

Bài : Cho 111 số tự nhiên khác nhau có 3 chữ số mỗi số có các chữ số khác nhau. chứng rằng tồn tại 2 số có hiệu là một số có 3 chữ số giống nhau

------------------------
nguồn:Thi HSG huyện Ba Vì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truong9bthcstb: 06-12-2015 - 07:35

[truong9bthcstb]

ai làm giúp với

[thanhan2003]

http://i.upanh.com/vykjpy
Xét$\Delta ABC$ bất kì trong mặt phẳng, nếu 3 điểm A,B,C cùng màu thì ta có ĐPCM.
Nếu A,B,C không cùng màu, không mất tính tổng quát giả sử A,B màu đen, C màu đỏ.
Xét O là trọng tâm $\Delta ABC$, có 2 trường hợp sau :
TH1: O màu đen.
Dựng lục giác đều AEBFCD như hình vẽ có O là trọng tâm.
Nếu D,E,F cùng màu ta có ĐPCM.
Nếu D,E,F khác màu, ta lại có nếu 1 trong 3 điểm D,E,F màu đen thì 1 trong 3 tam giác $\Delta OAD, \Delta OAE, \Delta OBF$ là tam giác thỏa mãn đề bài
TH2: O màu đỏ.
Dựng H như hình vẽ, ta có $\Delta CDH, \Delta AFH$ đều.
Nếu D,E,F cùng màu ta có ĐPCM.
Nếu D,E,F khác màu, khi đó nếu F hoặc D màu đỏ thì $\Delta OCF, \Delta OCD$ là tam giác thỏa mãn.
Nếu trong D,E,F có 2 điểm màu đỏ thì phải có ít nhất F hoặc D màu đỏ => lý luận như trên.
Nếu E đỏ, D,F đen, xét màu của điểm H:
Nếu H đỏ => $\Delta CEH$ thỏa mãn
Nếu H đen => $\Delta ADH$ thỏa mãn.
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn tìm được tam giác thỏa mãn đề bài.

anh có thể vẽ lại hình cho trường hợp o màu đỏ ko