Chủ đề này có 14 trả lời

[L Lawliet]

Tiếp nối topic này của anh luxubuhl mình lập topic này để mọi người cùng nhau thảo luận về Phương trình và hệ phương trình - một vấn đề hay, khó thường gặp trong các kì thi. Tuy nhiên, topic này không dừng lại ở việc là các bài toán thi học sinh giỏi mà còn có thể có các bài toán thi thử đại học, thi đại học hoặc từ một nguồn nào đó . Ai có thắc mắc gì về lời giải hoặc ý tưởng có thể post lên đây để mọi người cùng nhau thảo luận. Mong mọi người ủng hộ.
Lưu ý: Bài toán phải được đánh số thự tự rõ ràng, lời giải đầy đủ tuyệt đối không làm tắt (trình bày như một bài kiểm tra), nếu bài toán là thi học sinh giỏi năm 2000 thì cần ghi rõ nguồn và nếu là tự sáng tác thì cũng cần ghi nguồn (đã được kiểm chứng là đúng hay chưa?), không spam, bài làm viết bằng $\LaTeX$, không sử dụng ngôn ngữ chat chit. Tránh post bài tràn lan gây loãng topic.
==========
Bài toán 1: Giải phương trình $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3+\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}$.

Bài toán 2: Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{3-x}$.

Bài toán 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2 && \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 &&\end{matrix}\right.$.

-Học viện Quân Y 2001-

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 06-11-2012 - 17:27

[25 minutes]

Bài 1: ĐK: $-3\leq x\leq 6$
Bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương
$3+x+6-x+2\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}= 9+(3+x)(6-x)+6\sqrt{(3+x)(6-x)}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(3+x)(6-x)}.\left ( \sqrt{(3+x)(6-x)} +4\right )=0$
$ \Leftrightarrow x=-3 hoặc x=6$
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-3,x=6?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 04-11-2012 - 10:37

[25 minutes]

Bài 4:Giải phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0\\ x^2+x^2y^2-2y=0 \end{matrix}\right.$
( Trích 81 hệ phương trình có lời giải )
P/S: Mình mới kịp chép đề ra vở và đánh mất tờ đề nên chịu bài này?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 04-11-2012 - 11:42

[minhdat881439]

Bài toán 2: Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{3-x}$.

ĐK: $x\leq 3$
Đặt $a=\sqrt{3-x}$;$b=\sqrt{4-x}$;$c=\sqrt{5-x}$
Ta có:
x=3-$a^2$=4-$b^2$=5-$c^2$=ab+bc+ca nên:
$\left\{\begin{matrix} 3-a^2=ab+bc+ca & \\ 4-b^2=ab+bc+ca & \\ 5-c^2=ab+bc+ca & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(a+c)=3 & \\ (a+b)(b+c)=4 & \\ (c+b)(a+c)=5 & \end{matrix}\right.$
Nhân các vế của phương trình trên với nhau ta được:
(a+b)(b+c)(c+a)=$2\sqrt{15}$ (*)
Thay lần lượt các phương trình trên vào (*) ta có:
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\frac{2\sqrt{15}}{5} & \\ b+c=\frac{2\sqrt{15}}{3}& \\ a+c=\frac{2\sqrt{15}}{4} & \end{matrix}\right.$
Cộng các vế phương trình của hệ ta được phương trình mới :
$a+b+c=\frac{47\sqrt{15}}{60}$
Thay lần lượt phương trình của hệ vào phương trình vừa có ta được nghiệm của phương trình:
$x=\frac{671}{240}$ (thỏa)
p\s Quân sửa lại cái đề câu này kìa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 04-11-2012 - 14:37

[zipienie]

Bài 4:Giải phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0\\ x^2+x^2y^2-2y=0 \end{matrix}\right.$

Bài này mình xin giải như sau:
Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra $x^2=\dfrac{2y}{y^2+1}$, từ đây suy ra $y\geq 0$
Nếu $y=0$ thay vào phương trình thứ nhất của hệ thì tìm được $x=-\sqrt[3]{3}$ không thỏa mãn phương trình thứ hai nên không là nghiệm của hệ.
Trường hợp $y>0$,
Theo bất đẳng AM-GM thì $y^2+1 \geq 2y$ nên $$x^2=\dfrac{2y}{y^2+1} \leq 1 (*)$$
Vậy $x^2\leq 1 \iff -1\leq x\leq 1$
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta tìm được
$$x^3=-2y^2+4y-3$$
Nhận thấy rằng $-2y^2+4y-3 \leq -1$ nên ta suy ra $x^3 \leq -1$ kết hợp với (*) suy ra $x=-1$ thế vào phương trình bất kì của hệ ta tìm được $y=1$
Vậy $(x,y)=(-1,1)$ là nghiệm duy nhất cần tìm.

[T M]

Anh ủng hộ topic của Quân Đã là thảo luận kinh nghiệm anh nghĩ nên post bài nào mang tính " phương pháp " một chút chứ nhỉ

Bài 5. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^3+3xy^2=-49 \\ x^2-8xy+y^2=8y-17x
& &
\end{matrix}\right.$$

_____

Bài này có lẽ xuất hiện tương đối nhiều rồi Lời giải chắc không thiếu, trình bày kĩ về ý tưởng nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 04-11-2012 - 20:25

[L Lawliet]

Bài toán 1: Giải phương trình $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3+\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}$.

Cách giải khác...
Lời giải:
Điều kiện xác định: $x\in \left [ -3;6 \right ]$.
Đặt $\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t$ (điều kiện chung là $t\geq 0$), khi đó ta có $\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}=\dfrac{t^{2}-9}{2}$ và phương trình trở thành:
$t=3+\dfrac{t^{2}-9}{2}\\ \Leftrightarrow t^{2}-2t+3=0\\ \Leftrightarrow \left ( t+1 \right )\left ( t-3 \right )=0\\ \Leftrightarrow t=3$
Với $t=3$ ta được $\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}=\dfrac{t^{2}-9}{2}=\dfrac{3^{2}-9}{2}=0\Leftrightarrow x=\left \{ -3;6 \right \}$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-3$ và $x=6$. $\blacksquare$
==========
Bài toán 6: Giải phương trình $4x^{2}+7x+1=2\sqrt{x+2}$.

Bài toán 7: Giải phương trình $8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}$.

Spoiler

D-com hết tiền nên không vào topic TT^TT, xử lí bài 5 nào \m.

[quoctruong1202]

Bài toán 8:(Tự sáng tác từ 1 bài toán đã có)
Giải phương trình: $5x^2-4x+4=5(3x-2)\sqrt{x(2-x)}$
Bài toán 9:(Sưu tầm)
Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{1}{2}\\ \left ( x+\frac{1}{y} \right )^{y}=\left ( y+ \frac{1}{x}\right )^{x} \end{matrix}\right.$

[quoctruong1202]

Bài toán 6: Giải phương trình $4x^{2}+7x+1=2\sqrt{x+2}$.
Lời giải: Điều kiện $x\geq -2$
Đặt $t=\sqrt{x+2}$ khi đó phương trình có dạng: $4x^{2}+8x-t^{2}+3=2t \Leftrightarrow t^2+2t-4x^2-8x-3=0$
Ta có $\Delta =4(x+1)^2$
Với x=-1 không phải là nghiệm suy ra $x\neq -1$
Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt t=2x+1 và t=-2x-3
Với t=2x+1 suy ra $\sqrt{x+2}=2x+1\Leftrightarrow 4x^2+3x-1=0\Leftrightarrow$ x=-1(loại) hoặc x = $\frac{1}{4}$™
Với t=-2x-3 suy ra $\sqrt{x+2}=-2x-3\Leftrightarrow 4x^2-11x+7=0$$\Leftrightarrow$ x=1(loại)hoặc x=$\frac{7}{4}$™(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoctruong1202: 09-11-2012 - 10:29

[quoctruong1202]

Bài toán 7: Giải phương trình $8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}$.
Phương trình đã cho tương đương với: $8x^3-6x+2x-1=\sqrt[3]{6x+1}$
Đặt $t=\sqrt[3]{6x+1}$ phương trình có dạng $8x^3-t^3+2x-t=0$$\Leftrightarrow (2x-t)(4x^2-2xt+t^2+1)=0\Leftrightarrow t=2x$ và $4x^2-2xt+t^2+1=0(VN)$
Với t=2x suy ra$2x=\sqrt[3]{6x+1}$
Đến đây nghiệm xấu quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoctruong1202: 09-11-2012 - 08:10

[haiphong08]

Bài toán 7: Giải phương trình $8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}$.
Cách 2: Đặt $2y=\sqrt[3]{6x+1}$ ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} 8x^{3}-4x-2y-1=0 (1) & & \\8y^{3}-6x-1=0 (2) & & \end{matrix}\right.$.
Lấy (1)-(2) : $(x-y)(2(x^{2}+xy+y^{^{2}})+1)=0$$\Leftrightarrow (x-y)=0
$( vì $2(x^{2}+xy+y^{^{2}})+1> 0$)$\Leftrightarrow 2y=\sqrt[3]{6x+1}$. Đến đây được rồi nhé.
Nghiệm đúng là hơi xấu. Loại này có dạng rồi.

[leminhansp]

Bài toán 8:(Tự sáng tác từ 1 bài toán đã có)
Giải phương trình: $5x^2-4x+4=5(3x-2)\sqrt{x(2-x)}$

Ý tưởng: Đưa về phương trình đẳng cấp $\alpha u^2+\beta v^2+\gamma uv=0$
Biến đổi được phương trình tương đương $$(3x-2)^2+4(2x-x^2)=5(3x-2)\sqrt{2x-x^2)}$$ Đây là phương trình đẳng cấp đối với $3x-2$ và $\sqrt{2x-x^2}$
Hay dễ hình dung hơn ta viết lại phương trình thành: $u^2+4v^2=5uv$
Xét thấy $v=0$ không là nghiệm, chia cả hai vế cho $v^2$, Giải được: $\dfrac{u}{v}=1$ hoặc $\dfrac{u}{v}=4$
Từ đó tìm được nghiệm của phương trình ban đầu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 09-11-2012 - 13:27

[quoctruong1202]

Đưa thêm bài đi anh em để ta cùng chém!

[haiphong08]

Bài toán 10: Giải phương trình
$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^{3}+x)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haiphong08: 09-11-2012 - 13:23

[minhdat881439]

Bài toán 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2 && \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 &&\end{matrix}\right.$.

-Học viện Quân Y 2001-

Giờ mới on được bài 3 chưa ai làm mình chém vậy:
Từ pt1 suy ra:
$\sqrt{x+y}\geq \sqrt{x-y}\Rightarrow y\geq 0$
ĐK: $\left\{\begin{matrix} y\geq 0 & \\ x\geq y & \end{matrix}\right.$
HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-y^2}=x-2 & \\ \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-y^2}=x-2 & \\ \sqrt{x^2+y^2}=6-x & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^2-4x+4=0 & \\ y^2+12x-36=0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 16x-40=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\Rightarrow y=\sqrt{6}$ (thỏa)
Vậy...

Bài toán 10: Giải phương trình
$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^{3}+x)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$

Xem ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 16-11-2012 - 11:00