Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhelf96]

Chứng minh rằng pt: $a.(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b)=0$ luôn có nghiệm với mọi a,b,c dương

[tramyvodoi]

Thu gọn phương trình trên ta đc
$x^{2}(a+b+c)-2x(ab+bc+ca)+3abc=0$
$\Delta '=(ab+bc+ca)^{2}-3abc(a+b+c)\geq 0$
Nên phương trình luôn có nghiệm.
_________

NLT: Viết hoa đầu dòng bạn nhé !
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 04-11-2012 - 20:31

[Mai Xuan Son]

Xét $f(a)=a(a-b)(b-c)$
$f(b)=b(b-c)(b-a)$
$f©=c(c-a)(c-b)$
Lại có $f(a).f(b).f©=-abc(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$
Vì vậy tồn tại 1 trong 3 số đó âm hay phương trình luôn có nghiệm.
Do hệ số A của pt dương
------------------
Sử dụng tiêu chuẩn
$a.f(\alpha )< 0$ thì pt luôn có nghiệm thỏa $x_{1}< \alpha < x_{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 04-11-2012 - 20:32

[thanhelf96]

Thu gọn phương trình trên ta đc
$x^{2}(a+b+c)-2x(ab+bc+ca)+3abc=0$
$\Delta '=(ab+bc+ca)^{2}-3abc(a+b+c)\geq 0$
Nên phương trình luôn có nghiệm.
_________

NLT: Viết hoa đầu dòng bạn nhé !
___

bạn ơi mình cũng làm cáh đó rồi nhưng làm thế nào để chứng minh $\Delta$ $\geqslant 0$ ?

[tramyvodoi]

với a,b,c>o bất kì, ta có $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$
<=>$(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}\geq abbc+bcca+caab
đặt x=bc,y=ca,z=ab
=>$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$
<=>$2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)$
<=>$(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geq 0$
cái này luôn đúng