Chủ đề này có 2 trả lời

[yellow]

Có chính xác có đúng $4$ số nguyên dương $n$ để $\frac{(n+1)^2}{n+23}$ là một số nguyên? Tìm số lớn nhất.

[DarkBlood]

Ta có: $\frac{(n+1)^2}{n+23}=\frac{n^2+2n+1}{n+23}=\frac{n^2+23n-21n-483+484}{n+23}=n-21+\frac{484}{n+23}$
Vì $n$ nguyên dương nên $n-21$ nguyên.
Do đó để $\frac{(n+1)^2}{n+23}$ là một số nguyên thì $\frac{484}{n+23}$ cũng là số nguyên.
$\Rightarrow$ $n+23\in$ Ư $(484)=\left \{\pm1;\pm2;\pm4;\pm22;\pm44;\pm121;\pm242;\pm484 \right \}$
Mà $n$ là số nguyên dương nên $n\in\left \{21;98;219;461 \right \}$
Vậy $n$ lớn nhất là 461.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 05-11-2012 - 18:50

[Mai Duc Khai]

Chỉnh lại thì nó thế này

Ta có: $\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{n + 23}} = \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n + 23}} = \frac{{{n^2} + 23n - 21n - 483 + 484}}{{n + 23}} = n - 21 + \frac{{484}}{{n + 23}}.$
Vì $n$ nguyên dương nên $n-21$ nguyên.
Do đó để $\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{n + 23}}$ là 1 số nguyên thì $\frac{{484}}{{n + 23}}$ cũng là số nguyên.
\[ \Rightarrow n + 23 \in U(484) = {\rm{\{ }} \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 22; \pm 44; \pm 121; \pm 242; \pm 484{\rm{\} }}\]
Mà $n$ nguyên dương nên $n \in {\rm{\{ 21}};{\rm{98}};{\rm{219}};{\rm{461\} }}$
Vậy $n$ lớn nhất là 461

P/s: Tại thấy bạn post nhờ giúp ở topic này