Chủ đề này có 2 trả lời

[minhson95]

Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau:
$u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}.\sum_{k=1}^n(\frac{2^k}{k})$ với $n=1,2,3...$
Tìm $limu_n$

[hxthanh]

Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau:
$u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}.\sum_{k=1}^n(\frac{2^k}{k})$ với $n=1,2,3...$
Tìm $limu_n$

Dễ thấy $u_n>0,\quad\forall n=1,2,3,...$

Ta có: $u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2^{n+2}}\left[\dfrac{2^{n+1}}{n+1}+\sum_{k=1}^n \left(\frac{2^k}{k}\right)\right] $
$\Rightarrow u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\left[1+\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^n \left(\frac{2^k}{k}\right)\right]=\dfrac{n+2}{2(n+1)}(1+u_n)$

$\Rightarrow u_{n+1}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}u_n$
Mà $u_1=1$ do đó bằng quy nạp ta chứng minh được $u_n>1,\quad\forall n=2,3,...$

Việc còn lại ta sẽ chứng minh kể từ số hạng nào đó trở đi $\{u_n\}$ sẽ giảm
cụ thể ở đây ta sẽ chứng minh
$u_{n+1}<u_n,\quad \forall n=4,5,...$

Điều cần chứng minh tương đương với:
$u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}(1+u_n)<u_n,\quad \forall n=4,5,...\Leftrightarrow u_n>\dfrac{n+2}{n},\quad \forall n=4,5,... \qquad(1)$

Thật vậy ta có $u_4=\dfrac{5}{3}>\dfrac{4+2}{4}$ vậy $(1)$ đúng
Giả sử $(1)$ đúng tới $n$ , ta có:

$u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}(1+u_n)>\dfrac{n+2}{2(n+1)}\left(1+\dfrac{n+2}{n}\right)=\dfrac{n+2}{n}$ (giả thiết quy nạp)
$\Rightarrow u_{n+1}>\dfrac{n+2}{n}>\dfrac{n+3}{n+1}$

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có $(1)$ hãy dãy $\{u_n\}$ là giảm $($kể từ $n=4)$ và bị chặn dưới bởi $1$ nên nó có giới hạn.
Giả sử giới hạn đó là $L$

Ta có
$L=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{n+2}{2(n+1)}\right)(1+L)\Rightarrow L=1$

Đáp số $\lim\limits_{n \to\infty} u_n =1$

[dark templar]

Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau:
$u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}.\sum_{k=1}^n(\frac{2^k}{k})$ với $n=1,2,3...$
Tìm $limu_n$

1 lời giải khác ngắn gọn hơn bằng việc áp dụng định lý Stolz cho 2 dãy $\left\{\begin{matrix} x_{n}=2+\frac{2^2}{2}+...+\frac{2^{n}}{n}\\ y_{n}=\frac{2^{n+1}}{n+1} \end{matrix}\right.$
Ta có thể đưa đến 1 bài toán tổng quát sau:
Tổng quát: Chứng minh rằng :$\lim_{n \to +\infty}\frac{n+1}{a^{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\frac{a^{k}}{k}=\frac{1}{a-1}$ với $a$ là số thực khác 0 và 1.
Hồi còn học phổ thông,thầy mình đã từng nói là bài này có thể "xử đẹp" bằng AM-GM+C-S nhưng đến bây giờ mình vẫn mù tịt