Chủ đề này có 1 trả lời

[minhson95]

Cho a,b,c>0 TM abc=1 CMR:
$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)} \geq \frac{1}{3}$

[no matter what]

Cho a,b,c>0 TM abc=1 CMR:
$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)} \geq \frac{1}{3}$

mình xin gải bài này(cách hơi dài 1 tí)
Đặt biểu thức đã cho là A ta CM $A\geq \frac{1}{3}$ với $abc=1$
Có A=$\frac{1}{(b+\frac{2}{a})(2b+\frac{1}{a})}+\frac{1}{(c+\frac{2}{b})(2c+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+\frac{2}{c})(2a+\frac{1}{c})}$
từ GT a,b,c dương,abc=1 ,ta đổi biến $(a,b,c)\to (\frac{y}{x},\frac{z}{y},\frac{x}{z})$,khi đó
A=$\sum \frac{1}{(\frac{y}{x}+2.\frac{z}{x})(\frac{z}{x}+2.\frac{y}{x})}=\sum \frac{x^2}{(y+2z)(z+2y)}$
thêm nữa $(x+2y)(y+2x)=2(x^2+y^2)+5xy\leq \frac{9}{2}(x^2+y^2)$ nên
$\frac{z^2}{(x+2y)(y+2x)}\geq \frac{2}{9}.\frac{z^2}{x^2+y^2}$
$\Rightarrow A\geq \frac{2}{9}.\sum \frac{x^2}{y^2+z^2}$$\geq \frac{2}{9}.\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$