Chủ đề này có 2 trả lời

[danganhaaaa]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$
Tìm Min
$P=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2(x+z)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

[no matter what]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$
Tìm Min
$P=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2(x+z)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Giải :đổi biến $(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}) \to (a,b,c)$ khi đó ta vẫn có $abc=1$
ta tìm MIN :$\frac{a^4(b^2+c^2)}{b^3+2c^3}+\frac{b^4(c^2+a^2)}{c^2+2a^3}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^3+2b^3}$
dễ thấy $b^2+c^2\geq 2bc=\frac{2}{a}\Rightarrow a^4(b^2+c^2)\geq 2a^3$
ta sẽ tìm MIn của A= $2.(\frac{a^3}{b^3+2c^3}+\frac{b^3}{c^3+2a^3}+\frac{c^3}{a^3+2b^3})$
tuy nhiên nếu đổi biến tiếp $(a^3,b^3,c^3)\rightarrow (m,n,p)$
thì A=$2.(\frac{m}{n+2p}+\frac{n}{p+2m}+\frac{p}{m+2n})$ .Theo cauchy-schwarz ,dễ thấy A$\geq 2$
MIN A=2 khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 07-11-2012 - 12:35

[zipienie]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $x^2(y+z)=x(xy+xz)\geq 2x\sqrt{x^2yz}=2x\sqrt{x}$ vì $xyz=1$

Tương tự ta có $y^2(y+z)\geq 2y\sqrt{z}$ và $z^2(x+y)\geq 2z\sqrt{z}$

Bây giờ đặt $a=x\sqrt{x},b=y\sqrt{y}$ và $c=z\sqrt{z}$ và áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Nesbit ta có

$P \geq \dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b} \geq 2\dfrac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} $

Mặt khác ta có $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$ nên $P\geq 2$

Vậy Min P=$2$ khi $a=b=c \iff x=y=z=1$