Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Ta ký hiệu $F_{n}$ là dãy số Fibonancci và $L_{n}$ là dãy số Lucas.Hãy tính tổng $S=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{F_{2k+1}}{L_{k}L_{k+1}L_{k+2}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-11-2012 - 20:49

[hxthanh]

Xét tổng riêng:
$S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{F_{2k+1}}{L_kL_{k+1}L_{k+2}}$

Trước hết ta có công thức tổng quát của hai dãy $\{F_n\}$ và $\{L_n\}$ là

$F_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right]$

$L_n=\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$

Từ đó ta dễ dàng chứng minh được:

$F_{2k+1}=F_k^2+F_{k+1}^2=\dfrac{L_k^2+L_{k+1}^2}{5}$

Suy ra:

$S_n=\dfrac{1}{5}\sum_{k=1}^n \dfrac{L_k^2+L_{k+1}^2}{L_kL_{k+1}L_{k+2}}=\dfrac{1}{5}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{L_k}{L_{k+1}L_{k+2}}+\dfrac{L_{k+1}}{L_kL_{k+2}}\right)$
$\Rightarrow$
$S_n=\dfrac{1}{5}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{L_k}-\dfrac{1}{L_{k+1}}\right)+\dfrac{2}{5}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{L_{k+1}}-\dfrac{1}{L_{k+2}}\right)$
$\Rightarrow$
$S_n=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{L_1}-\dfrac{1}{L_{n+1}}\right)+\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{L_2}-\dfrac{1}{L_{n+2}}\right)$
$\Rightarrow$
$S_n=\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{1}{5L_{n+1}}+\dfrac{2}{5L_{n+2}}\right)$

Từ đó ta có:
$S=\lim\limits_{n\to \infty} S_n = \dfrac{1}{3}$