Chủ đề này có 1 trả lời

[cool hunter]

1 bài về định lý Pascal:
Cho ngũ giác lồi ABCDE có $DC = DE$ và$\widehat{BCD}=\widehat{DEA}=90^{\circ}$. Gọi F là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn: $\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}$. CMR: $\widehat{FCE}=\widehat{FDE}$.
*T muốn hỏi là định lý Pascal có đúng cho n điểm không.

[perfectstrong]

Lời giải 1:
Vẽ $BC$ cắt $FA$ tại $P$. $DA,DB$ thứ tự cắt đường tròn đường kính $DP$ tại $Q,R$. Vẽ $G$ là giao điểm của $RE$ và $QC$.
Ta sẽ chứng minh $G \equiv F$.
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $E;R;D;Q;C;P$ có $ER \cap QC=G; RD \cap CP=B; DQ \cap PE=A$ thì $A,G,B$ thẳng hàng.

Vẽ $PA \cap QC=M;PC \cap RE=N$.
Do $DE=DC;\angle DCP=\angle DEP=90^o$ nên dễ dàng suy ra $PE=PC$ và $DEPC$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow (DEPC)=-1$
$\Rightarrow R(DEPC)=-1 \Rightarrow (BNPC)=-1 \Rightarrow (BPNC)=-1 \Rightarrow \dfrac{\overline{NB}}{\overline{NP}}=-\dfrac{\overline{CB}}{\overline{CP}}$
$\vartriangle PBA$ có cát tuyến $NGE$ nên
\[
\begin{array}{l}
\frac{{\overline {GB} }}{{\overline {GA} }}.\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EP} }}.\frac{{\overline {NP} }}{{\overline {NB} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\overline {GB} }}{{\overline {GA} }} = \frac{{\overline {EP} }}{{\overline {EA} }}.\frac{{\overline {NB} }}{{\overline {NA} }} \\
\Leftrightarrow \frac{{\overline {GB} }}{{\overline {GA} }} = \frac{{EP}}{{EA}}.\left( { - \frac{{CB}}{{CP}}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\overline {GB} }}{{\overline {GA} }} = - \frac{{CB}}{{EA}} \\
\end{array}
\]
Do đó $G \in [AB]$ và $\dfrac{GB}{GA}=\dfrac{CB}{EA}=\dfrac{FB}{FB} \Rightarrow \dfrac{GB}{AB}=\dfrac{FB}{AB}$.
Suy ra $GB=FB \Rightarrow F \equiv G$ do $F,G \in [AB]$. Vậy ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-11-2012 - 22:50