Lời giải:
Đặt $P(x)=x^4-x^3+2x+1$.
Nếu $P(x)$ có nghiệm $x_0$ hữu tỷ thì $x_0 \in \mathbb{Z}$ và $x_0|1 \Rightarrow x_0=\pm 1$. Thử vào: $P(\pm 1) \ne 0$
Do đó, nếu $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$ thì $P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ trong đó, $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$.
Đồng nhất thức, ta có:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
a + c = - 1 \\
b + d + ac = 0 \\
ad + bc = 2 \\
bd = 1 \\
\end{array} \right.
\]
Giải hệ này, ta có:
\[
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{ - 1 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2};c = \frac{{ - 1 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2} \\
b = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\
d = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{ - 1 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2};c = \frac{{ - 1 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2} \\
b = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\
d = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
Các nghiệm này đều không là hữu tỷ nên $P(x)$ bất khả quy trong $\mathbb{Q}[x]$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.