Chủ đề này có 3 trả lời

[tieulyly1995]

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :
$P(x)P(3x^{2})= P( 3x^{3}+ x),\forall x$

[Ispectorgadget]

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :
$P(x)P(3x^{2})= P( 3x^{3}+ x),\forall x$

Spoiler

Không biết đúng không nữa @@

Đa thức $P(x)$ có hệ số thực $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0(a_n \neq 0)$
Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $P(x_0)=0\Rightarrow P(x_0)=0\Rightarrow P(3x_0^2+x_0)=0\Rightarrow x_1=3x_0^2+x_0$ cũng là nghiệm.
Lập luận tương tự ta có $(x_n)$ là nghiệm của $P(x)$ với $x_n=3x_{n-1}^2+x_{n-1};\,\,\, n\ge 1$ và $x_0$ cho trước.
$\bullet$ Nếu $x_0<0$ thì $x_0>x_1>x_2>...>x_n>x_{n+1}>...$ suy ra $P(x)$ có vô hạn nghiệm, vô lý.
$\bullet$ Nếu $x_0>0$ thì $x_0<x_1<x_2<...<x_n<x_{n+1}<...$ suy ra $P(x)$ có vô hạn nghiệm, vô lý.
$\bullet$ Nếu $x_0=0$ ta gọi $k$ là số bé nhất mà $a_k\neq 0 (n\ge k>0)$ ta có
$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_kx^k$. Thay vào ta được $a_n^2.3^nx^{2n}+...+a_k^2.3^k.x^{2k}\equiv a_n(3x^2+x)^n+...+a_k(3x^2+x)^k \,\, (1)$
Do $a_0=0$ và $a_k \neq 0$ nên $k>0\Rightarrow 2k>k$
Trong (1) đồng nhất hệ số của $x^k$ hai vế dẫn đến $a_k=0$, vô lý.
Vậy $P(x)$ không có nghiệm thực.

[hxthanh]

Thế nếu $P(x)\equiv 0$ hoặc $P(x)\equiv 1$ thì sao nhỉ?

[tramyvodoi]

mình xin trình bày bài giải như sau
P(x)P(3$x^{2}$)=P$(3x^{3}+x)$ (1)
trường hợp 1: P(x)$\equiv$c (với c là hằng số thực)
khi đó (1)<=>$c^{2}=c$<=>$\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ c=1 & \end{matrix}\right.$
trường hợp 2: degP=n$\geq 1$
giả sử P(x) thỏa (1).
Với mỗi đa thức F(x) khác đa thức không, kí hiệu F* hoặc (F(x)*) chỉ hệ số bậc cao nhất của F(x)
(1)=>P*P*$3^{n}$=P*$3^{n}$<=>P*=1
(1)=>$P^{2}$(0)=P(0) <=>$\left\{\begin{matrix} P(0)=1 & \\ P(0)=0 & \end{matrix}\right.$
Nếu P(0)=0 thì P(x)=$x^{m}Q(x)$ với m nguyên dương và Q(x) là đa thức hệ số thực thỏa Q(0) khác 0
khi đó: (1)<=>$x^{m}Q(x)3^{m}x^{2m}Q(3x^{2})=(3x^{3}+x)^{m}Q(3x^{3}+x)$ với mọi x
<=>$Q(x)3^{m}x^{2m}Q(3x^{2})=(3x^{2}+1)^{m}Q(3x^{3}+x)$ với mọi x khác 0
<=>$Q(x)3^{m}x^{2m}Q(3x^{2})=(3x^{2}+1)^{m}Q(3x^{3}+x)$ với mọi x (do Q(x) là đa thức)
từ đây lấy x=0 ta có Q(0)=0 mâu thuẩn với giả thuyết đang xét là Q(0) khác 0
vậy không thể có P(0)=0 tức là P(0)=1
. Gọi a là nghiệm phức của P(x) có munđun lớn nhất
Do P(0) khác 0 =>$\left |a \right |$>0. Ta có P(a)=0 nên từ (1)
=>P($3a^{3}+a$)=0
=>$3a^{3}+a$ cũng là nghiệm của P(x)
=>$\left | 3a^{3}+a \right |\leq \left | a \right |$
=>$2\left | a \right |\geq \left | a \right |+\left | 3a^{3}+a \right |=\left | a \right |+\left | -3a^{3} -a\right |\geq \left | a-3a^{3}-a \right |=3\left | a \right |^{3}$
=>$\left | a \right |^{2}\leq \frac{2}{3}$=>$\left | a \right |\leq 1$=>$\left | a \right |^{n}\leq 1$.
gọi a1,a2,...,an là n nghiệm phức của P(x)
Ta có P*=P(0)=1 nên theo định lý viét ta có
$\left | a1 \right |\left | a2\right |...\left | an \right |=\left | a1a2..an \right |=\left | \frac{P(0)}{P*} \right |=1$
=>1=$\left | a1 \right |\left | a2 \right |..\left | an \right |<\left | a \right |^{n}<1$ (vô lý)
=>không có đa thức P(x) nào có bậc $\geq 1$ mà thỏa (1)
vậy P(x) là đa thức hệ số thực thỏa (1)<=>P(x)=0 hoặc P(x)=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-11-2012 - 12:49