Chủ đề này có 3 trả lời

[phatthientai]

Tìm tất cả các hàm $f:R\to R$ sao cho:
$$f\left( f\left( x-y \right) \right)=f\left( x \right)-f\left( y \right)+f\left( x \right)f\left( y \right)-xy,\forall x,y\in R$$

[duongtoi]

Ta có $f(f(x))=f(f(x-0))=f(x)-f(0)\quad (1)$ và $f(f(-x))=f(f(0-x))=f(0)-f(x)\quad (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra $f(f(x))$ là hàm số lẻ. Suy ra $0=f(f(0))=f^2(x)-x^2\Leftrightarrow f(x)=\pm x$.
Vậy có hai hàm thoả mãn là $f(x)=x$ và $f(x)=-x$.

[phatthientai]

Tìm tất cả các hàm $f:R\to R$ sao cho:
$$f\left( f\left( x-y \right) \right)=f\left( x \right)-f\left( y \right)+f\left( x \right)f\left( y \right)-xy,\forall x,y\in R$$

Tìm tất cả các hàm $f:R\to R$ sao cho:
$$f\left( f\left( x-y \right) \right)=f\left( x \right)-f\left( y \right)+f\left( x \right)f\left( y \right)-xy,\forall x,y\in R$$
Bài này mình làm như sau: (Không biết đúng không nữa)
Cho $y=0$ ta có $$f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right)-f\left( 0 \right)+f\left( x \right)f\left( 0 \right)=f\left( x \right)\left( 1+f\left( 0 \right) \right)-f\left( 0 \right)$$
Đặt $f\left( 0 \right)=a$ ta có $$f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right)\left( 1+a \right)-a$$
Lần lượt thay $x=f\left( x \right)$ ta có $$f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)=f\left( f\left( x \right) \right)\left( 1+a \right)-a$$ tương tự như vậy, ta có $${{f}_{n+2}}=\left( 1+a \right){{f}_{n+1}}-a$$, với $${{f}_{1}}\left( x \right)=x;{{f}_{2}}=f\left( x \right)$$
Nếu $a=0$ thì $f\left( x \right)=x$
Nếu $a\ne 0$ thì ta có CTTQ của dãy là: $${{f}_{n}}\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( f\left( 0 \right)+1 \right)}^{n-1}}+1$$
Cho $n=1$ thì $${{f}_{1}}\left( x \right)=f\left( x \right)=x$$
Thử lại ta thấy thỏa

[bbboylion]

Ta có $f(f(x))=f(f(x-0))=f(x)-f(0)\quad (1)$ và $f(f(-x))=f(f(0-x))=f(0)-f(x)\quad (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra $f(f(x))$ là hàm số lẻ. Suy ra $0=f(f(0))=f^2(x)-x^2\Leftrightarrow f(x)=\pm x$.
Vậy có hai hàm thoả mãn là $f(x)=x$ và $f(x)=-x$.

hình như $$f(x)=-x$$ không thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbboylion: 08-11-2012 - 19:43