Chủ đề này có 10 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 9/11/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 11 có 21 toán thủ nên 1 toán thủ sẽ bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

4) Từ trận 7, điều lệ đã có sự thay đổi

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.

[E. Galois]

Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$$
Toán thủ ra đề:
hoangtrong2305

[Spin9x]

Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|(1)\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$
Toán thủ ra đề:
hoangtrong2305

ĐIỀU KIỆN CẦN:
Nhận thấy nếu $x$ là nghiệm thì $-x$ cũng là nghiệm hệ phương trình:
Nên hệ có nghiệm duy nhất khi $x=-x$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ là nghiệm của hệ.

Với x=0 thay vào (2) ta có $y=1 ; y=-1$
Thay $(x;y)$ vào (1) ta được $a=2;a=-1$ $a=2$ hoặc $a=0$

ĐIỀU KIỆN ĐỦ:
Với $a=2$ hệ trở thành:
$$\left\{\begin{matrix}2x^{2}+1=y-|\sin x|(1)\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow$
$$\left\{\begin{matrix}(2x^{2}+1+|\sin x|)^2=1-\tan^{2}x(1')\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$

$(1')$ $\Leftrightarrow$ $4x^2+\sin^{2}x+4x^2|\sin x|+4x^2+2|\sin x|+\tan^2{x}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ do VT$\geqslant 0 $

Vậy $a=2$ thoả mãn và nghiệm hệ là $(0;1)$

Với $a=-1$ hệ trở thành
$$\left\{\begin{matrix} (-x^{2}-2)=y-|\sin x|(1)\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow$
$$\left\{\begin{matrix}(-x^{2}-2+|\sin x|)^2=1-\tan^{2}x(1')\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$

$(1'')$ $\Leftrightarrow$ $ x^4+4x^2+\sin^{2}x-2x^2|\sin x|-4|\sin x|+\tan^2{x}+3=0$ (3)

Ta có $x=0$ không phải là nghiệm nên (3) có nghiệm $x$ sẽ có nghiệm $-x$ $\Leftrightarrow$ hệ có quá 1 nghiệm.

Vậy $a=-1$ không thoả. Kết luận này chưa chính xác! (có thể phương trình vô nghiệm?)

Kết luận:
$a=2$ thì hệ có nghiệm duy nhất là $(0;1)$

_________________________
Điểm bài làm: $d=5$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 5+0+0=40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-11-2012 - 09:47
Chấm điểm

[minh29995]

Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$$
Toán thủ ra đề:
hoangtrong2305

ĐK: $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ ($k\in Z$)
Nhận xét: nếu phương trình có nghiệm $x=x_0$ khác 0 thì cũng có nghiệm $x=-x_0$
Khi đó PT có ít nhất 2 nghiệm..
Do đó để PT có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là $x=0$
Thay x=0 vào ta được:
$\left\{\begin{matrix} a-1=y\\ y^2=1 \end{matrix}\right.$
Khi đó ta có 2 số a thỏa mãn là $a=2$ và $a=0$
Ta xét điều kiện đủ
TH1: Với a=2 ta được:
$\left\{\begin{matrix} 2x^2+1=y-|sinx|\\ tan^2x+y^2=1 \end{matrix}\right.$
Từ PT số 2 của hệ suy ra $y\leq 1$ .. Do đó ta có $VT(pt1)\geq VP(pt1)$
Dấu bằng xảy ra khi $y=1, x=0$. Đây là nghiệm suy nhất của hệ
Vậy a=2 thỏa mãn.
TH2: Với a=0 ta có:
$\left\{\begin{matrix} -1=y-|sinx|\\ tan^2x+y^2=1 \end{matrix}\right.$
Thế $y=|sinx|-1$ vào PT dưới và đặt $t=|sinx|$ ($t\geq 0$) ta được PT
$t^4-2t^3-2t^2+2t=0$
Suy ra t=0 hoặc $t^3-2t^2-2t+2=0$ (1)
Xét $f(t)=VT(1)$
Ta có: $f(0).f(1)=-2<0$
Suy ra PT có nghiệm $t\in (0;1)$
Do đó PT có nghiệm $x\neq 0$ thỏa mãn..
Do đó PT có nhiều hơn 1 nghiệm.
Vậy a=0 không thỏa mãn.
KẾT LUẬN: PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=0, y=1$ khi a=2
__________________________________
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-11-2012 - 09:49
Chấm điểm

[19kvh97]

Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.(1)$$
Toán thủ ra đề:
hoangtrong2305

$(1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=ax^{2}+a-1+|\sin x| & & \\ \frac{\sin^{2} x}{1-\sin^{2} x}+(ax^{2}+a-1+|\sin x|)^{2}=1 & &(*) \end{matrix}\right.$
Đặt $|\sin x|=b(b\epsilon [0;1])$ $\quad(b\ne 1)$
$(*)\Leftrightarrow a^{2}x^{4}+2ax^{2}(a-1+b)+a^{2} -2a+2ab-2b+\frac{b^{2}}{1-b^{2}}=0(**)$
Đặt $x^{2}=t(t\geq0)$ pt trở thành
$a^{2}t^{2}+2at(a-1+b)+a^{2}-2a+2ab-2b+\frac{b^{2}}{1-b^{2}}=0(2)$
Để hệ có nghiệm duy nhất thì pt $(*)$ phải có nghiệm duy nhất suy ra pt $(**)$ cũng phải có nghiệm duy nhất
ĐK cần để pt $(**)$ có nghiệm duy nhất là pt ẩn phụ phải có nghiệm $t=0$

(Chỗ này không chặt đk phải là $\begin{cases}a^2=0 \\ \Delta_t=0\end{cases}$)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ b=|\sin x|=0 & & \end{matrix}\right.$
Thay $x=0$ và $b=0$ vào $(2)$
$\Rightarrow a^{2}-2a=0$$\Rightarrow \begin{bmatrix} a=0 & & \\ a=2 & & \end{bmatrix}$
+)Nếu $a=0$ thì từ $(2)$ suy ra

$-2b+\frac{b^{2}}{1-b^{2}}=0$$\Rightarrow \begin{bmatrix} b=0 & & \\ b=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4} & & \end{bmatrix}$

Kết hợp với ĐK $b\epsilon [0;1]$ suy ra có 2 giá trị của $b$ tm (ko tm ycbt)

+) Nếu $a=2$ từ $(1)$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=2x^{2}+1+|\sin x| & & \\ \tan^{2}x +y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 1 & & \\ \tan^{2}x \leq 0& & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y= 1 & & \\ x= 0& & \end{matrix}\right.$
KL: Vậy với $a=2$ thì hệ có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(0;1)$

___________________________________
Điểm bài làm: $d=5$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-2}{2}\right\rfloor+3\times 5+0+0=40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-11-2012 - 09:57
Chấm điểm

[Gioi han]

$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|sinx| & & \\ tan^{2}x+y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
Điều kiện cần :Thấy rằng $(x_{0};y_{0})$ là nghiệm của hệ phương trình thì $(-x_{0};y_{0}$ cũng là nghiệm hệ.
Ta có hệ có nghiệm duy nhất khi $x_{0}=-x_{0} \Leftrightarrow x_{0}=0$
Thay vào hệ thu được $a=0;a=2$
Với $a=0$ hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} |sinx|=y+1 & & \\ tan^{2}x+y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow (|sinx|+1)^{2}+tan^{2}x=1$
$\Leftrightarrow sin^{2}x +tan^{2}x +2 |sinx|=0$
$\Rightarrow sinx=0$
$\Leftrightarrow x =k \pi$(hệ vô số nghiệm)
$\Rightarrow a=0$ không thoả mãn.
Với $a=2$ ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+1=y-|sinx| & & \\ tan^{2}x+y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 4x^{2}+2x^{2}|sinx|+sin^{2}x+tan^{2}x=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}|sinx| =0 & & \\ x=0 & & \\ tan^{2}x=0 & & \\ sin^{2}x=0 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=0$
$\Rightarrow y=1$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(0;1)$ khi $a=2$

_________________________________
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-3}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=54$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-11-2012 - 10:00
Chấm điểm

[chagtraife]

Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$$
Toán thủ ra đề:
hoangtrong2305

giải:
để ý rằng:
khi hệ pt nếu có 1 nghiệm (x;y) thì chăc chắn có 1 nghiệm (-x;y)
*phương trình trên có 1 nghiệm,suy ra: x=0
thay vào hệ phương trình, ta được:
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=y & & \\ y^{2}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1 & & \\ a=2 & & \end{matrix}\right. hoặc \left\{\begin{matrix} y=-1 & & \\ a=0 & & \end{matrix}\right.$$
*thử lại:
+a=0
$\left\{\begin{matrix} 0x^{2}+0-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\left | \sin x \right |-1 & & \\ \tan ^{2}x+(\left | \sin x \right |-1)^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\left | \sin x \right |-1 & & \\ \tan ^{2}x+\sin ^{2}x-2\left | \sin x \right |=0 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left | \sin x=0\Leftrightarrow x=0 \right |$hoặc$\frac{\left | \sin x \right |}{\cos ^{2}x}+\left | \sin x \right |-2=0$
đặt F(x)=$\frac{\left | \sin x \right |}{\cos ^{2}x}+\left | \sin x \right |-2$
ta có:F(6).F(5)<0 suy ra F(x)=0 có 1 nghiệm khác 0,thuộc [5;6]
do đó, ta loại trường hợp a=0
+a=2:
$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+2-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (**)\end{matrix}\right.$
$ \left\{\begin{matrix} y=|\sin x|+2x^{2}+1 & & \\ \tan ^{2}x+(\left |\sin x \right |+2x^{2}+1)=1 & & \end{matrix}\right.$
nhận thấy rằng:$y\leq 1$(**),$|\sin x|+2x^{2}+1\geq 1$do đó:$y=|\sin x|+2x^{2}+1$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | \sin x \right |=0 & & \\ x=0,y=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=0,y=1$
thay x=0 vào$\tan ^{2}x+(\left |\sin x \right |+2x^{2}+1)=1,$ ta thấy $x=0$ thỏa mãn!nên với $a=2$ thì phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất là (0;1),thỏa mãn đkbt!
vậy a=2 thì hệ có nghiệm duy nhất, và nghiệm đó là (0;1)
____________________________
Chú ý cách trình bày bài làm, $\LaTeX$
Chỉ cần $\sin x=0$ thì pt đã có vô số nghiệm rồi
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-4}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=54$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-11-2012 - 10:16
Chấm điểm

[chagtraife]

hic, hồi bữa em quên điều kiện!
đk: $x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi$($k\epsilon Z$)
do thiếu điều kiện nên chỗ chứng minh $F(x)=0$ $ (F(x)=\frac{\left | \sin x \right |}{\cos ^{2}x}+\left | \sin x \right |-2$) có nghiệm thuộc [5;6] sẽ không chặt khi có giá trị $x = \frac{\pi }{2}+k\pi$ thuộc [5;6]!em bổ sung chỗ đó chút xíu:
ta thấy rằng:
$5\leq \frac{\pi }{2}+k\pi \leq 6$
$\Leftrightarrow \frac{5}{\pi }-\frac{1}{2}\leq k\leq \frac{6}{\pi }-\frac{1}{2} $
$\Rightarrow 1< k< 2$,mà $k\epsilon Z$ nên không có giá trị $\frac{\pi }{2}+k\pi $trong [5;6]
do đó, F(x) xác định trên [5;6]
và F(5).F(6)<0
nên phương trình có nghiệm thuộc [5;6]

[chagtraife]

mở rộng:
khi gặp các bài toán đinh a để pt,hệ pt có nghiệm duy nhất,mà ta thấy x là nghiệm của pt, -x cũng là nghiệm của pt thì từ đề bài,(pt có nghiệm duy nhất) ta suy ra x=0, tìm a rồi sau đó thử lại!
ta có một số ví dụ như sau:
vd1)định a để pt: $x^{4}+ax^{2}+a-5=0$
a.pt có nghiệm duy nhất
b.pt có 3 nghiệm
bài này khá đơn giản nên em không chứng minh nha
vd2)định a để hệ có nghiệm duy nhất:
$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a=y+\left | \cos x \right | & & \\ \sin ^{2}x+y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
giải:
tương tự như trên, ta cũng thấy rằng (x;y) là nghiệm thì (-x;y) cũng là nghiệm
pt có nghiệm duy nhất,suy ra: x=0
ta tìm được 2 giá trị của a là:0;2
thử lại:
+với a =0,ta có:$\left\{\begin{matrix} y=\left | \cos x \right | & & \\ \sin ^{2}x+y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\left | \cos x \right | & & \\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1 & & \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\epsilon R & & \\ y=\left | \cos x \right | & & \end{matrix}\right.$
vậy a=0 thì hệ trên có vô số nghiệm nên a=0 bị loại
+với a=2, ta có:$\left\{\begin{matrix} y=-\left | \cos x \right |+2x^{2}+2(*) & & \\ \sin ^{2}x+y^{2}=1 (**)& & \end{matrix}\right.$
$2x^{2}+2\geq 2$;$\left | \cos x \right |\leq 1\Rightarrow -\left | \cos x \right |\geq -1$$\Rightarrow vp(*)\geq 1$
mà $vt(*)\leq 1$(**)
suy ra:$x=0;y=1$
vậy a=2 thỏa!
_______________________
Những "mở rộng" như thế này sẽ không được tính điểm. Chỉ cần thay đổi đề bài một chút ai cũng có thể nêu ra $100$ bài như em vậy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-11-2012 - 10:07
Nhận xét!

[longqnh]

Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$$
Toán thủ ra đề:
hoangtrong2305

Bài giải trận 11 - longqnh - MHS13
Dễ thấy các giá trị $(0,y_{0})$ đều thỏa mãn hệ (cần chứng minh, chứ đừng "dễ thấy")
Thay vào ta có hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}
a - 1 = {y_0} \\
y_0^2 = 1 \\
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0 \\
a = 2 \\
\end{array} \right.\]
Thử lại:
Với $a=0$, ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
y =- 1 \\
{\tan ^2}x = 0 \\
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =- 1 \\
x = k\pi (k \in \mathbb{Z})\\
\end{array} \right.\]
Trường hợp này không thỏa YCBT $\rightarrow$ loại
Với $a=1$, ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 1 = y - \left| {\sin x} \right| \\
{\tan ^2}x + {y^2} = 1 \\
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2{x^2} + \left| {\sin x} \right| + 1 (1) \\
{\tan ^2}x + {y^2} = 1 (2) \\
\end{array} \right.\]
Ta có đánh giá:
\[\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} \ge 0 \\
0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow y = 2{x^2} + \left| {\sin x} \right| + 1 \ge 1\]
Giả sử $y=1$, thay vào $(1)$ tìm được $x=0$
Thay vào $(2)$ thấy thỏa mãn.

KẾT LUẬN:
- Giá trị cần tìm là $\boxed{a=2}$
- Khi ấy nghiệm duy nhất của hệ là $(0,1)$
____________________________________
Điểm bài làm $d=9$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-51}{2}\right\rfloor+3\times 9+0+0=27$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-11-2012 - 10:12
Chấm điểm

[hxthanh]

Việc chấm điểm đã xong. Mọi người có $24$ giờ để nêu ý kiến thắc mắc, sẽ được giải đáp!

Nhận xét:
Bài này không khó, và hầu như không có sự mở rộng nào!
Tất cả những toán thủ tham gia giải đều đã làm đúng trình tự là tìm điều kiện cần, rồi thử lại để có điều kiện đủ! Vậy mà không một ai "dám" khẳng định:
"Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $a=2$. Khi đó nghiệm của hệ là ..."
Nếu chỉ trả lời: "Vậy với $a=2$ thì hệ đã có có nghiệm duy nhất là ..."
thì sẽ bị thắc mắc: "ngoài $a=2$ ra còn có giá trị của $a$ nào khác thoả mãn không?"
Tất cả đều không có câu trả lời!

Điểm toán thủ ra đề: $D_{rd}=4\times 1+3\times 14+2\times 0+30=76$