Tìm n để $1^5 + 2^5 + \ldots + n^5$ là số chính phương
Chúc mừng bạn nhé, bạn chế được một bài toán khá hay
Giải như sau:Nếu $n=0$ chọn
Nếu $n>0$
$\dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)=k^2$
$\Rightarrow n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)=3(2k)^2$
Ta thấy nếu $n \vdots 3$ khi đó $(n+1)^2(2n^2+2n-1) \not \vdots 3$
Gọi $n=3^t.r$ với $gcd(r,3)=1$
Khi ấy $VT \vdots 3^{2t}$ khi đó $3.(2k)^2 \vdots 3^{2t} \Rightarrow (2k)^2 \vdots 3^{2t-1} \Rightarrow 2k \vdots 3^{t} \Rightarrow (2k)^2 \vdots 3^{2t}$ khi ấy $3(2k)^2 \vdots 3^{2t+1}$ mặt khác do $gcd((n+1)^2(2n^2+2n-1),3)=1$ khi ấy $VT \vdots 3^{2t}$ mà không $\vdots 3^{2t+1}$ vô lí, chứng minh tương tự cũng có $(n+1) \vdots 3$ cũng loại
Do đó $gcd(n,3)=gcd(n+1,3)=1$
Suy ra $(2k)^2 \vdots n^2(n+1)^2 \Rightarrow 2k \vdots n(n+1)$
Đặt $2k=n(n+1).m$
Khi ấy $3m^2=2n^2+2n-1 \Rightarrow 6m^2=4n^2+4n-2 \Rightarrow 6m^2=(2n+1)^2-3$ do đó $2n+1 \vdots 3 \Rightarrow 2n+1=3h$
Do đó $(3h)^2-3=6m^2 \Rightarrow 3h^2-1=2m^2$
Như vậy $3h^2-1=2m^2$
Suy ra $3h^2-2m^2=1$ với $3h=2n+1$
Đây là phương trình Pell loại II
Để giải nó ta đi đến Pell loại I có dạng $h^2-6m^2=1$ có nghiệm $(a,b)=(5,2)$ là nhỏ nhất
Khi ấy $3h^2-2m^2=1$ có nghiệm $m^2\le max\{Anb^2,-\dfrac{na^2}{B}\}$
Khi đó $m^2\le 12$ nên $m\le 3$ thấy $m=1$ là nghiệm duy nhất với $m\le 3$ do đó phương trình có $1$ dãy nghiệm
$h_0=1,m_0=1$
$h_{n+1}=h_n.5+4m_n$
$m_{n+1}=h_n.6+5m_n$
Do đó tất cả nghiệm là $n=\dfrac{3h-1}{2}=\dfrac{h_n.5+4m_n-1}{2}$ với dãy nghiệm được tính ra như trên
Vậy $\boxed{n=\dfrac{h_n.5+4m_n-1}{2}}$ hoặc $n=0$ với dãy$h_0=1,m_0=1$
$h_{n+1}=h_n.5+4m_n$
$m_{n+1}=h_n.6+5m_n$ và như thế phương trình này vô số nghiệm, thí dụ chỉ ra nghiệm khác nữa là $n=13,109,...$ đây là bài toán hay khó, có vô số nghiệmP/S khi ấy $n=0,1$ cũng bao gồm trong dãy cả
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-11-2012 - 22:17