Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm n để $1^5 + 2^5 + \ldots + n^5$ là số chính phương

nguyenta98 số chính phương chế

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
Tìm n để $1^5 + 2^5 + \ldots + n^5$ là số chính phương


Spoiler

$n = 0$ hoặc $n = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 09-11-2012 - 22:11

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Tìm n để $1^5 + 2^5 + \ldots + n^5$ là số chính phương


Spoiler

Chúc mừng bạn nhé, bạn chế được một bài toán khá hay
Giải như sau:
Nếu $n=0$ chọn
Nếu $n>0$
$\dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)=k^2$
$\Rightarrow n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)=3(2k)^2$
Ta thấy nếu $n \vdots 3$ khi đó $(n+1)^2(2n^2+2n-1) \not \vdots 3$
Gọi $n=3^t.r$ với $gcd(r,3)=1$
Khi ấy $VT \vdots 3^{2t}$ khi đó $3.(2k)^2 \vdots 3^{2t} \Rightarrow (2k)^2 \vdots 3^{2t-1} \Rightarrow 2k \vdots 3^{t} \Rightarrow (2k)^2 \vdots 3^{2t}$ khi ấy $3(2k)^2 \vdots 3^{2t+1}$ mặt khác do $gcd((n+1)^2(2n^2+2n-1),3)=1$ khi ấy $VT \vdots 3^{2t}$ mà không $\vdots 3^{2t+1}$ vô lí, chứng minh tương tự cũng có $(n+1) \vdots 3$ cũng loại
Do đó $gcd(n,3)=gcd(n+1,3)=1$
Suy ra $(2k)^2 \vdots n^2(n+1)^2 \Rightarrow 2k \vdots n(n+1)$
Đặt $2k=n(n+1).m$
Khi ấy $3m^2=2n^2+2n-1 \Rightarrow 6m^2=4n^2+4n-2 \Rightarrow 6m^2=(2n+1)^2-3$ do đó $2n+1 \vdots 3 \Rightarrow 2n+1=3h$
Do đó $(3h)^2-3=6m^2 \Rightarrow 3h^2-1=2m^2$
Như vậy $3h^2-1=2m^2$
Suy ra $3h^2-2m^2=1$ với $3h=2n+1$
Đây là phương trình Pell loại II
Để giải nó ta đi đến Pell loại I có dạng $h^2-6m^2=1$ có nghiệm $(a,b)=(5,2)$ là nhỏ nhất
Khi ấy $3h^2-2m^2=1$ có nghiệm $m^2\le max\{Anb^2,-\dfrac{na^2}{B}\}$
Khi đó $m^2\le 12$ nên $m\le 3$ thấy $m=1$ là nghiệm duy nhất với $m\le 3$ do đó phương trình có $1$ dãy nghiệm
$h_0=1,m_0=1$
$h_{n+1}=h_n.5+4m_n$
$m_{n+1}=h_n.6+5m_n$
Do đó tất cả nghiệm là $n=\dfrac{3h-1}{2}=\dfrac{h_n.5+4m_n-1}{2}$ với dãy nghiệm được tính ra như trên
Vậy $\boxed{n=\dfrac{h_n.5+4m_n-1}{2}}$ hoặc $n=0$ với dãy
$h_0=1,m_0=1$
$h_{n+1}=h_n.5+4m_n$
$m_{n+1}=h_n.6+5m_n$ và như thế phương trình này vô số nghiệm, thí dụ chỉ ra nghiệm khác nữa là $n=13,109,...$ đây là bài toán hay khó, có vô số nghiệm


P/S khi ấy $n=0,1$ cũng bao gồm trong dãy cả :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-11-2012 - 22:17


#3
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
Đúng rồi, có vô số nghiệm, mình chỉ ra 2 nghiệm 1, 0... để cho thấy bài bạn làm chưa hoàn hảo (bài này, mình đã tính đến cả n=133 cho $9712992^2$ hoặc to hơn n=1321 cho $942162299^2$...) nhưng bài làm của bạn mới cho mình thấy mối liên hệ :namtay

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyenta98, số chính phương, chế

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh