Chủ đề này có 3 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH 2012-2013

Câu I: (4p)
Tìm $m$ đề nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn $\left[1;2 \right]$
$$m\left|x^2-3x+1 \right|-\dfrac{2}{\left|x^2-3x+1 \right|+1} \leq 0$$

Câu II:(4p)
Cho dãy số $(u_n)$, với $u_n =\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{i}{(i+1)!}}, n=1,2...$
1. Chứng minh $(u_n)$ là dãy tăng.
2. Đặt $v_n=\sqrt[n]{(u_1)^n+(u_2)^n+...+(u_{2012})^n}$. Tính $Lim(v_n)$

Câu III:(4p)
1. Giải hệ phương trình
$$ \begin{cases} x_1=\dfrac{\sqrt{3}}{9}cos{(\pi x_2)}\\x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{9}cos{(\pi x_3)}\\x_3=\dfrac{\sqrt{3}}{9}cos{(\pi x_1)}\end{cases}$$
2. Cho $a,b,c \in [2;+\propto )$. Chứng minh rằng
$$ log_{b+c}a^2 + log_{c+a}b^2 + log_{a+b}c^2 \geq 3$$

Câu IV: (8p)
Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh tại đỉnh $O$ đôi một vuông góc vơi nhau. Gọi $\alpha, \beta, \gamma $ lần lượt là góc tạo bởi $(ABC)$ với các mặt phẳng $(OBC);(OAC);(OAB)$, và $ A, B, C$ là các góc tương ứng trong tam giác $ABC$.
1. Chứng mình rằng: $cos^2 \alpha +cos^2 \beta +cos^2 \gamma =1 $
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T= tan^2 \alpha+tan^2\beta +tan^2\gamma+cot^2 \alpha+cot^2\beta +cot^2\gamma$
3. Chứng minh rằng: $\dfrac{sin^2\alpha}{sin2A}=\dfrac{sin^2\beta}{sin2B}=\dfrac{sin^2\gamma}{sin2C}$

---------Hết-------------

Nguồn: k2pi.net

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-11-2012 - 11:17

[Ispectorgadget]

Spoiler

Sao không ai vào thảo luận nhỉ.

Câu I: (4p)
Tìm $m$ đề nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn $\left[1;2 \right]$
$$m\left|x^2-3x+1 \right|-\dfrac{2}{\left|x^2-3x+1 \right|+1} \leq 0$$
Vì $x\in \left[ 1;2 \right]\Leftrightarrow -\frac{5}{4}\le {{x}^{2}}-3x+1\le -1$
Đặt $t=\left| {{x}^{2}}-3x+1 \right|\Rightarrow 1\le t\le \frac{5}{4}$
Ta có \[mt-\frac{2}{t+1}\le 0\Rightarrow m\le \frac{2}{{{t}^{2}}+t}\] $f(x)=\frac{2}{{{t}^{2}}+t}$ với $t\in \left[ 1;\frac{5}{4} \right]$
\[{{f}^{/}}(t)=-\frac{4t+2}{{{({{t}^{2}}+t)}^{2}}}<0;\forall t\in \left[ 1;\frac{5}{4} \right]\]
Từ bảng biến thiên ta có nghiệm của bpt là $m\le \frac{32}{45}$
Câu II:(4p)
Cho dãy số $(u_n)$, với $u_n =\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{i}{(i+1)!}}, n=1,2...$
1. Chứng minh $(u_n)$ là dãy tăng.
2. Đặt $v_n=\sqrt[n]{(u_1)^n+(u_2)^n+...+(u_{2012})^n}$. Tính $Lim(v_n)$
a) Vì $u_{n+1}-u_n=\frac{i+1}{(i+2)!}>0$ với mọi $k\in \mathbb{N}\Rightarrow u_{i+1}> u_i, \, \forall i\in \mathbb{N}$
b) $$\Rightarrow u_{2012}<u_1^n+u_2^n+...+u_{2012}^n <2012. x_{2012}^n$$
$$\Rightarrow u_{2012}<\sqrt[n]{u_1^n+u_2^n+...+u_{2012}^n}<\sqrt[n]{2012}.x_{2012} \,\, (*)$$
Lại có $\frac{i}{(1+i)!}=\frac{(i+1)-1}{(i+1)!}=\frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}$
$$\Rightarrow u_k=(1-\frac{1}{2!})+(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!})+...+(\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!})=1-\frac{1}{(k+1)!}$$
$\Rightarrow u_{2012}=1-\frac{1}{2013!}$
\[1 - \frac{1}{{2013!}} < \sqrt[n]{{u_1^n + u_2^n + ... + u_{2012}^n}} < \sqrt[n]{{2012}}\left( {1 - \frac{1}{{2013!}}} \right)\]
Nhưng vì\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{2013}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\sqrt[n]{{2012}}\left( {1 - \frac{1}{{2013!}}} \right)} \right]\]
\[ \Rightarrow \lim (v_n)=\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{{u_1^n + u_2^n + ... + u_{2012}^n}} = 1 - \frac{1}{{2013!}}\]
Câu III:(4p)
2. Cho $a,b,c \in [2;+\propto )$. Chứng minh rằng
$$ log_{b+c}a^2 + log_{c+a}b^2 + log_{a+b}c^2 \geq 3$$
Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với
\[\frac{{{{\log }_2}{a^2}}}{{{{\log }_2}(b + c)}} + \frac{{{{\log }_2}{b^2}}}{{{{\log }_2}(c + a)}} + \frac{{{{\log }_2}{c^2}}}{{{{\log }_2}(a + b)}} \ge 3\]
Do $a,b,c\ge2$ nên \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le 1 \Rightarrow a + b \le ab\]
Xây dựng các BĐT tương tự ta đưa bài toán về chứng minh
\[\frac{{2{{\log }_2}a}}{{{{\log }_2}bc}} + \frac{{2{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}ca}} + \frac{{2lo{g_2}c}}{{lo{g_2}ab}} = 2\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{z}{{x + y}} + \frac{y}{{x + y}}} \right) \ge 3\]
Sử đụng Nesbit ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-11-2012 - 11:51

[xuanha]

Spoiler

Sao không ai vào thảo luận nhỉ.

Câu I: (4p)
Tìm $m$ đề nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn $\left[1;2 \right]$
$$m\left|x^2-3x+1 \right|-\dfrac{2}{\left|x^2-3x+1 \right|+1} \leq 0$$
Vì $x\in \left[ 1;2 \right]\Leftrightarrow -\frac{5}{4}\le {{x}^{2}}-3x+1\le -1$
Đặt $t=\left| {{x}^{2}}-3x+1 \right|\Rightarrow 1\le t\le \frac{5}{4}$
Ta có \[mt-\frac{2}{t+1}\le 0\Rightarrow m\le \frac{2}{{{t}^{2}}+t}\] $f(x)=\frac{2}{{{t}^{2}}+t}$ với $t\in \left[ 1;\frac{5}{4} \right]$
\[{{f}^{/}}(t)=-\frac{4t+2}{{{({{t}^{2}}+t)}^{2}}}<0;\forall t\in \left[ 1;\frac{5}{4} \right]\]
Từ bảng biến thiên ta có nghiệm của bpt là $m\le \frac{32}{45}$

chứa đoạn chứ k phải nằm trên đoạn đó

[xuanha]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH 2012-2013


Câu IV: (8p)
Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh tại đỉnh $O$ đôi một vuông góc vơi nhau. Gọi $\alpha, \beta, \gamma $ lần lượt là góc tạo bởi $(ABC)$ với các mặt phẳng $(OBC);(OAC);(OAB)$, và $ A, B, C$ là các góc tương ứng trong tam giác $ABC$.
1. Chứng mình rằng: $cos^2 \alpha +cos^2 \beta +cos^2 \gamma =1 $

3. Chứng minh rằng: $\dfrac{sin^2\alpha}{sin2A}=\dfrac{sin^2\beta}{sin2B}=\dfrac{sin^2\gamma}{sin2C}$

kẻ OA' vuông góc với BC.khi đó AA' cũng vuông góc với BC
kẻ OH vuông góc với (ABC) => H thuộc AA'
ta có: $\angle AA'O=\angle AOH=\alpha$
=>$cos^{2}\alpha =\frac{OH^{2}}{OA^{2}}$
tương tự với các góc còn lại ta sẽ có đc đpcm
3.
ta có: $sin^{2}\alpha =\frac{AH^{2}}{OA^{2}}$$=\frac{AH}{AA'}$ vì $OA^{2}=AH.AA'$
Gọi I, G lần lượt làtam đường tròn ngoại tipế tam giác ABC. theo đường thẳng euler thì H,G,I thẳng hàng và HG=2GI
=> AH=2IM và $A=\angle BIM$ (=1/2 số đo cung BC) (và M thuộc BC, IM vuông BC)
ta có: $sin2A=2sinAcosA=2.\frac{BM}{IB}.\frac{IM}{IB}=2.\frac{BC}{2IB}.\frac{AH}{2IB}=\frac{BC.AH}{2R^{2}}$
từ đó ta đc: $\frac{sin^{2}\alpha }{sin2A}=\frac{R^{2}}{S}$
do sự bình đẳng giữa các cặp góc còn lại nên ta có đc đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanha: 12-12-2012 - 09:50