Chủ đề này có 1 trả lời

[navibol]

Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $x_i\geqslant 0,i=0,1,2,...,n$ $x_0=1$ và
$$x_i \leqslant x_{i+1}+x_{i+2}$$
Chứng minh:
$$ \sum_{i=0}^{n}x_i\geqslant \frac{f_{n+2}-1}{f_n}$$

($f_{n}$ là dãy Fibonaci.)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-11-2012 - 11:28

[ChinhLu]

Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $x_i\geqslant 0,i=0,1,2,...,n$ $x_0=1$ và
$$x_i \leqslant x_{i+1}+x_{i+2}$$
Chứng minh:
$$ \sum_{i=0}^{n}x_i\geqslant \frac{f_{n+2}-1}{f_n}$$

($f_{n}$ là dãy Fibonaci.)

Recall that the Fibonacci sequence is given by 

$f_0=0,f_1=1$ and $f_{n+2}= f_{n+1}+f_n, \forall n\geq 0$. 

 

Let $S$ be the set of indices  $j$ in 

$N:=\{0,1,...,n\}$ such that $x_j<\frac{f_{n-j}}{f_n}$. Then $0$ and $n$ do not belong to $S$ (Why?).

 

Claim 1: if $s\in S$ then both $s+1$ and $s-1$ belong to $N\setminus S$.

 

It then follows from the property of the sequence $(x_j)$ that if $s\in S$,

$$x_s+x_{s+1} \geq x_{s-1} \geq \frac{f_{n-s+1}}{f_n} = \frac{f_{n-s}}{f_n}+\frac{f_{n-s-1}}{f_n}.$$

Set $T:=S+1$ and $R=N\setminus (T \cup S).$ Then 

$$\sum_{j\in N}x_j=\sum_{j\in S} (x_j+x_{j+1}) + \sum_{j\in R} x_j \geq \sum_{j\in N}\frac{f_j}{f_n}.$$

 

Claim 2: The last term is exactly the right-hand side of the inequality under consideration. 

 

Question 1: Prove Claim 1.

Question 2: Prove Claim 2.

Question 3: When does the equality hold?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 12-08-2014 - 15:32