1 bài toán cũ rồi
Bài toán: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$$\left ( \frac{a}{2a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{2b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{2c+a} \right )^3 \ge \frac{1}{9}$$
$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{2a+b} \right)^3 \ge \frac{1}{9}$$
Bắt đầu bởi dark templar, 11-11-2012 - 10:27
for all
#1
Đã gửi 11-11-2012 - 10:27
- WhjteShadow và NLT thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 23-11-2012 - 22:29
Giải như sau:1 bài toán cũ rồi
Bài toán: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$$\left ( \frac{a}{2a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{2b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{2c+a} \right )^3 \ge \frac{1}{9}$$
Dễ dàng đưa BDT trên về dạng
$\sum \frac{a^6}{(bc+2a^2)^3}\geq \frac{1}{9}$
Ta chuẩn hoá cho abc=1.
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^6}{(bc+2a^2)^3}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum 8a^6+12abc\sum a^3+18a^2b^2c^2+\sum b^3c^3}\geq \frac{1}{9}\Leftrightarrow \sum a^6+17\sum a^3b^3\geq 12abc\sum a^3+18a^2b^2c^2$
Đến đây ta dùng dồn biến:
$f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(a^6+b^6-2a^3b^3)+17c^3(a^3+b^3-2\sqrt{a^3b^3})-12abc(a^3+b^3-2\sqrt{a^3b^3})\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})^2+17c^3-12abc\geq 0$
Theo AM-GM thì$(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})^2+17c^3-12abc\geq 2\sqrt{a^3b^3}+2\sqrt{a^3b^3}+17c^3\geq 3\sqrt[3]{68abc}>12abc$
Do đó $f(a,b,c)\geq f(\sqrt[3]{abc},\sqrt[3]{abc},\sqrt[3]{abc})=0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Chứng minh hoàn tất.
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: for all
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các dạng toán khác →
Một số bài toán tính tổng chọn lọcBắt đầu bởi hxthanh, 02-04-2013 dark templar, hxthanh, for all |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
3 Giao điểm của 3 đường thẳng nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác $A_1A_2A_3$.Bắt đầu bởi dark templar, 31-12-2012 for all, happy new year |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$x^4+ax^3+bx+c=0$ có các nghiệm đều là số thực thì $ab \le 0$.Bắt đầu bởi dark templar, 15-12-2012 for all |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Chứng minh:$$\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$$Bắt đầu bởi dark templar, 11-11-2012 for all |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor} \binom{n}{3k} = ?$Bắt đầu bởi hxthanh, 03-11-2012 for all |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh