Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Xét khai triển hàm số sau:
$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

[chanhquocnghiem]

Bài toán: Xét khai triển hàm số sau:
$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

Trong khai triển của $f_{k}(x)$, từ số hạng thứ hai ($-\frac{x^2}{k}$) trở đi có dạng tổng quát là $\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}$

Với mỗi số thực $x$ (tức là $x$ là số thực cố định), khi $k\to+\infty$ thì :

$\lim_{k\to+\infty}\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=\frac{(-1)^mx^m}{m!}.\lim_{k\to+\infty}\frac{x^m}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=0$

Điều đó có nghĩa là khi $k\to+\infty$ và $x$ cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến $0$.

Vậy với mỗi số thực $x$, ta có $\lim_{k\to+\infty}f_k(x)=1$.

[WhjteShadow]

Trong khai triển của $f_{k}(x)$, từ số hạng thứ hai ($-\frac{x^2}{k}$) trở đi có dạng tổng quát là $\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}$

Với mỗi số thực $x$ (tức là $x$ là số thực cố định), khi $k\to+\infty$ thì :

$\lim_{k\to+\infty}\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=\frac{(-1)^mx^m}{m!}.\lim_{k\to+\infty}\frac{x^m}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=0$

Điều đó có nghĩa là khi $k\to+\infty$ và $x$ cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến $0$.

Vậy với mỗi số thực $x$, ta có $\lim_{k\to+\infty}f_k(x)=1$.

 

Bạn làm chưa đúng, khi làm việc với chuỗi ta cần cẩn thận. Ví dụ như bây giờ cho "chuỗi" (tổng hình thức)

\[ f(x) = 1 + \dfrac{x}{k} + \dfrac{x^2}{k} +  \dfrac{x^3}{k} + \cdots, \]

thì theo cách lập luận trên, khi ta cố định một số $x > 1$ nào đó, từng số hạng vẫn tiến đến 0 khi $k \to \infty$, nhưng ta không thể kết luận được gì về tính hội tụ của tổng vô hạn trên (vì $x> 1$ nên nó tiến ra vô cùng).

 

Cần làm kĩ hơn một tẹo như thế này, khi ta cố định $x$ rồi, sẽ tồn tại $N$ đủ lớn để $N > \text{max} \{1, x^4\}$, xét $k > N$. Khi đó ta có đánh giá cho số hạng thứ $n+1$ của tổng (kí hiệu là $x_n$, số hạng đầu tiên $1 = x_0$)

\[ |x_n| = \dfrac{ x^{2n}}{n! k\cdots (k+n-1)} < \dfrac{x^{2n}}{n! k^{n}} < \dfrac{1}{\sqrt{k}} \dfrac{x^{2n}}{n! k^{n-1/2}} < \dfrac{1}{\sqrt{k}} \dfrac{1}{n!} \]

do $k^{n-1/2} \geq k^{n/2} > x^{2n}$ với $n\geq 1$. Suy ra 

\[ \left| \sum_{n=1}^{\infty} x_n \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| \leq \dfrac{1}{\sqrt{k}} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} < \dfrac{2}{\sqrt{k}} \to 0 \,\,\, (\text{khi } k\to \infty), \]

Vậy $\lim_{k\to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} x_n= 0$.

Tóm lại, với $x$ cố định thì

 $$\lim_{k\to \infty} f_k(x) = 1.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-06-2017 - 19:19

[NeverDiex]

Trong khai triển của fk(x)fk(x), từ số hạng thứ hai (−x2k−x2k) trở đi có dạng tổng quát là (−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)(−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)

Với mỗi số thực xx (tức là xx là số thực cố định), khi k→+∞k→+∞ thì :

limk→+∞(−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)=(−1)mxmm!.limk→+∞xmk(k+1)(k+2)...(k+m−1)=0limk→+∞(−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)=(−1)mxmm!.limk→+∞xmk(k+1)(k+2)...(k+m−1)=0

Điều đó có nghĩa là khi k→+∞k→+∞ và xx cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến 00.

Vậy với mỗi số thực xx, ta có limk→+∞fk(x)=1limk→+∞fk(x)=1.

• tritanngo99 và NTL2k1 thích
•  
• Thích

...