Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh:$$\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$$

for all

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-11-2012 - 20:52

Bài toán: Xét khai triển hàm số sau:
$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1954 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-06-2017 - 10:18

Bài toán: Xét khai triển hàm số sau:
$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

Trong khai triển của $f_{k}(x)$, từ số hạng thứ hai ($-\frac{x^2}{k}$) trở đi có dạng tổng quát là $\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}$

Với mỗi số thực $x$ (tức là $x$ là số thực cố định), khi $k\to+\infty$ thì :

$\lim_{k\to+\infty}\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=\frac{(-1)^mx^m}{m!}.\lim_{k\to+\infty}\frac{x^m}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=0$

Điều đó có nghĩa là khi $k\to+\infty$ và $x$ cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến $0$.

Vậy với mỗi số thực $x$, ta có $\lim_{k\to+\infty}f_k(x)=1$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-06-2017 - 19:13

Trong khai triển của $f_{k}(x)$, từ số hạng thứ hai ($-\frac{x^2}{k}$) trở đi có dạng tổng quát là $\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}$

Với mỗi số thực $x$ (tức là $x$ là số thực cố định), khi $k\to+\infty$ thì :

$\lim_{k\to+\infty}\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=\frac{(-1)^mx^m}{m!}.\lim_{k\to+\infty}\frac{x^m}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=0$

Điều đó có nghĩa là khi $k\to+\infty$ và $x$ cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến $0$.

Vậy với mỗi số thực $x$, ta có $\lim_{k\to+\infty}f_k(x)=1$.

 

Bạn làm chưa đúng, khi làm việc với chuỗi ta cần cẩn thận. Ví dụ như bây giờ cho "chuỗi" (tổng hình thức)

\[ f(x) = 1 + \dfrac{x}{k} + \dfrac{x^2}{k} +  \dfrac{x^3}{k} + \cdots, \]

thì theo cách lập luận trên, khi ta cố định một số $x > 1$ nào đó, từng số hạng vẫn tiến đến 0 khi $k \to \infty$, nhưng ta không thể kết luận được gì về tính hội tụ của tổng vô hạn trên (vì $x> 1$ nên nó tiến ra vô cùng).

 

Cần làm kĩ hơn một tẹo như thế này, khi ta cố định $x$ rồi, sẽ tồn tại $N$ đủ lớn để $N > \text{max} \{1, x^4\}$, xét $k > N$. Khi đó ta có đánh giá cho số hạng thứ $n+1$ của tổng (kí hiệu là $x_n$, số hạng đầu tiên $1 = x_0$)

\[ |x_n| = \dfrac{ x^{2n}}{n! k\cdots (k+n-1)} < \dfrac{x^{2n}}{n! k^{n}} < \dfrac{1}{\sqrt{k}} \dfrac{x^{2n}}{n! k^{n-1/2}} < \dfrac{1}{\sqrt{k}} \dfrac{1}{n!} \]

do $k^{n-1/2} \geq k^{n/2} > x^{2n}$ với $n\geq 1$. Suy ra 

\[ \left| \sum_{n=1}^{\infty} x_n \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| \leq \dfrac{1}{\sqrt{k}} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} < \dfrac{2}{\sqrt{k}} \to 0 \,\,\, (\text{khi } k\to \infty), \]

Vậy $\lim_{k\to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} x_n= 0$.

Tóm lại, với $x$ cố định thì

 $$\lim_{k\to \infty} f_k(x) = 1.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-06-2017 - 19:19

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:11

Trong khai triển của fk(x)fk(x), từ số hạng thứ hai (x2k−x2k) trở đi có dạng tổng quát là (1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m1)(−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)

Với mỗi số thực xx (tức là xx là số thực cố định), khi k+k→+∞ thì :

limk+(1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m1)=(1)mxmm!.limk+xmk(k+1)(k+2)...(k+m1)=0limk→+∞(−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)=(−1)mxmm!.limk→+∞xmk(k+1)(k+2)...(k+m−1)=0

Điều đó có nghĩa là khi k+k→+∞ và xx cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến 00.

Vậy với mỗi số thực xx, ta có limk+fk(x)=1limk→+∞fk(x)=1.

...


 

 





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: for all

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh