Chủ đề này có 6 trả lời

[Bikyo]

Tính định thức cấp n sau đây:
1. x -y 0 ... 0 0
0 x -y ... 0 0
0 0 x ... 0 0
...
0 0 0 ... x -y
1 1 1... 1 1

2. 1 0 0 ... 0 1
1 a 0 ... 0 0
1 1 b ... 0 0
...
1 0 0 ... y 0
1 0 0 ... 1 z

3. 2cos a 1 0 ... 0 0
1 2cos a 0 ... 0 0
0 1 2cos a ... 0 0
...
0 0 0 ... 2cos a 1
0 0 0 ... 1 2cos a


Theo huong dan thi cau 1: khai trien dinh thuc theo cot 1 ket hop voi khai trien dinh thuc theo cot n duoc ket qua (x^n - y^n))/(x-y)
Cau 2 va 3 dung truy hoi.
Nhung minh van ko hieu cach tach va meo lam bai nay, cac ban huong dan minh voi, cam on cac ban nhieu lam

[ssupermeo]

1
đặt $\Delta _{n}=$ định thức đầu tiên
$\Delta _{n}=x\Delta_{n-1}+(-1)^{n-1}(-y)^{n-1}=x\Delta_{n-1}+y^{n-1}=x(x\Delta_{n-2}+y^{n-2})+y^{n-1}=x^2\Delta_{n-2}+xy^{n-2}+y^{n-1}$
suy luận tương tự suy ra kết quả bên dưới.
Theo mình thì cái cốt lõi của bài này là biểu diễn định thức ban đầu dưới dạng hệ thức truy hồi rồi suy luận tương tự.

[vo van duc]

Với các định thức cấp n mà có quy luật như thế này thì ta để ý:
1. Có nhiều số hạng bằng 0
2. Nếu bỏ đi hàng 1, cột 1 (hay hàng n, cột n) thì được định thức cấp n-1 có quy luật giống như định thức cấp n
thì ta hãy khai triển theo hàng (hay cột) hợp lý để được biểu thức truy hồi.
.......................
Câu 1: Ta sẽ khai triển theo cột 1 ( hoặc hàng 1) vì khi khai triển theo cột 1 (hoặc hàng 1) thì định thức cấp n-1 có quy luật không thay đổi.
Ở đây tôi khai triển theo cột 1.
Ta có:

$D_{n}=\begin{vmatrix} x & -y & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & x & -y & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & x & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & x & -y\\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$=x.(-1)^{1+1}.\begin{vmatrix} x & -y & ... & 0 &0 \\ 0 & x & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ...& ... &... \\ 0 & 0 & ... & x & -y\\ 1 & 1 & ... & 1 & 1 \end{vmatrix}_{n-1}+1.(-1)^{n+1}.\begin{vmatrix} -y & 0 & ... & 0 &0 \\ x & -y & ... & 0 & 0\\ 0& x & ... &0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & x & -y \end{vmatrix}_{n-1}$

$=x.D_{n-1}+1.(-1)^{n+1}.(-y)^{n-1}=x.D_{n-1}+y^{n-1}$

Vậy ta có biểu thức truy hồi $D_{n }=x.D_{n-1}+y^{n-1}$

$D_{n}=x.D_{n-1}+y^{n-1}$

$=x(xD_{n-2}+y^{n-2})+y^{n-1}$

$=x^{2}D_{n-2}+xy^{n-2}+y^{n-1}$

$=x^{n-1}D_{1}+x^{n-2}y+...+x^{n-i}y^{i-1}+...+xy^{n-2}+y^{n-1}$

$=x^{n-1}+x^{n-2}y+...+x^{n-i}y^{i-1}+...+xy^{n-2}+y^{n-1}$

Bằng quy nạp ta chứng minh được kết quả sau: Nếu $a\neq b$ thì

$a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+...+ab^{n-1}+b^{n}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$

Áp dụng kết quả tren ta có đáp số như của bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 15-11-2012 - 01:10

[vo van duc]

Câu 2: Tôi nghỉ em đã ghi nhầm đề.
Câu 3: Ta có thể khai triển theo cột 1 (hoặc hàng 1, hoặc cột n, hoặc cột n). Ở đây tôi khai triển theo cột 1.
Ta có:

$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cosa & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cosa & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2cosa & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 &... & 2cosa & 1\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2cosa \end{vmatrix}$

$=2cosa.(-1)^{1+1}.\begin{vmatrix} 2cosa & 1 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cosa & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 2cosa &1\\ 0 & 0 & ... & 1 & 2cosa \end{vmatrix}_{n-1}$

$+1.(-1)^{2+1}.\begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cosa & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 2cosa & 1\\ 0 & 0 & ... & 1 & 2cosa \end{vmatrix}_{n-1}$

$=2cosa.D_{n-1}-\begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cosa & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 2cosa & 1\\ 0 & 0 & ... & 1 & 2cosa \end{vmatrix}_{n-1}$

$=2cosa.D_{n-1}-1.(-1)^{1+1}.\begin{vmatrix} 2cosa & 1 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cosa & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... &... & ...\\ 0& 0 & ... & 2cosa & 1\\ 0 & 0 & ... & 1 & 2cosa \end{vmatrix}_{n-2}$

$=2cosa.D_{n-1}-D_{n-2}$

Ta có phương trình $D_{n}=2cosa.D_{n-1}-D_{n-2}$
Giải phương trình này ta tìm được $D_{n}$

...............................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 31-01-2013 - 06:16

[vo van duc]

Phương trình $D_{n}=a.D_{n-1}+b.D_{n-2}$

* $b=0$ thì ta có: $D_{n}=a^{n-1}.D_{1}$ (1)

* $b\neq 0$ và $\alpha ,\beta$ là hai nghiệm của phương rình đặc trưng $x^{2}-ax-b=0$

Khi đó: $\left\{\begin{matrix} a=\alpha +\beta \\ b=-\alpha \beta \end{matrix}\right.$

Ta phân tích

$\left\{\begin{matrix}
D_{n}-\beta D_{n-1}=\alpha (D_{n-1}-\beta D_{n-2}) & {\color{DarkRed} (2)}\\
D_{n}-\alpha D_{n-1}=\beta (D_{n-1}-\alpha D_{n-2}) & {\color{DarkRed} (3)}
\end{matrix}\right.$

Xét trường hơp: $\alpha \neq \beta$, ta có:

$\left\{\begin{matrix}
D_{n}-\beta D_{n-1}=\alpha ^{n-2}(D_{2}-\beta D_{1})\\
D_{n}-\alpha D_{n-1}=\beta ^{n-2}(D_{2}-\alpha D_{1})
\end{matrix}\right.$

Suy ra: $D_{n}=\frac{\alpha ^{n-1}(D_{2}-\beta D_{1})-\beta ^{n-1}(D_{2}-\alpha D_{1})}{\alpha -\beta }$

Hoặc viết lại

$D_{n}=C_{1}\alpha ^{n}+C_{2}\beta ^{n}$ (4)

Với: $\left\{\begin{matrix} C_{1}=\frac{D_{2}-\beta D_{1}}{\alpha (\alpha -\beta )}\\ C_{2}=-\frac{D_{2}-\alpha D_{1}}{\beta (\alpha -\beta )} \end{matrix}\right.$

Xét trường hợp: $\alpha = \beta$, thì hệ (2), (3) trở thành

$D_{n}-\alpha D_{n-1}=\alpha (D_{n-1}-\alpha D_{n-2})\Leftrightarrow D_{n}-\alpha D_{n-1}=A.\alpha ^{n-2}$ với $A=D_{2}-\alpha D_{1}$ (5)

Thay n bởi n - 1 ta nhận được $D_{n-1}-\alpha D_{n-2}=A\alpha ^{n-3}$

Suy ra $D_{n-1}=\alpha D_{n-2}+A\alpha ^{n-3}$

Thay vào phương trình (5), ta có:

$D_{n}=\alpha ^{2}D_{n-2}+2A\alpha ^{n-2}$

Suy ra: $D_{n}=\alpha ^{n-1}D_{1}+(n-1)A\alpha ^{n-2}$

[vo van duc]

Trở lại bài toán của em!
.................................

$D_{n}=2cosaD_{n-1}-D_{n-2}$

Xét phương trình đặc trưng:

$x^{2}-2cosa.x+1=0$ (*)

Ta có:

$\Delta =cos^{2}a-1=-sin^{2}a$

* Nếu $a=k\Pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì $\Delta =0$

Phương trình (*) có nghiệm kép: $\alpha =\beta =cosa$

* Nếu $a\neq k\Pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì $\Delta =-sin^{2}a=i^{2}sin^{2}a$

Một căn bậc hai của $\Delta$ là: $i.sina$

Phương trình (*) có hai nghiệm: $\alpha =cosa-i.sina$ và $\beta =cosa+i.sina$

Tới đây là được rồi nhỉ!
Phần thế số còn lại là của em thôi.
...................................................................

Một số liên kết trong diễn đàn với các nài có ý tưởng tương tự:
http://diendantoanho...-dịnh-thức-d-n/

http://diendantoanho...-dịnh-thức-d-n/

http://diendantoanho...1444-dịnh-thức/

http://diendantoanho...tinh-dịnh-thức/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 15-11-2012 - 15:27

[Tranhang]

Mọi người cho em hỏi có các phương pháp tính định thức cụ thể ko ạ. Trong sách giáo khoa có đưa ra 2 phương pháp mà bài tập thì áp dụng ko hay lắm))))