Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

Tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 12-11-2012 - 21:01

Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1506 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 15-07-2017 - 07:34

Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất

Phân tích :

$AM+BN+MN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow IA+AM+MN+NB+BI$ nhỏ nhất.

Mà $IA+AM+MN+NB+BI\geqslant IM+MN+NI$

 

Cách dựng :

- Dựng điểm $I'$ đối xứng với $I$ qua tia $Ox$.

- Dựng điểm $I''$ đối xứng với $I'$ qua tia $Oy$.

- Dựng điểm $M$ là giao điểm của $I''I$ và $Oy$.

- Dựng điểm $N$ là giao điểm của $MI'$ và $Ox$.

- Điểm $A$ chính là giao điểm của đoạn $IM$ và đường tròn $(I)$.

- Điểm $B$ chính là giao điểm của đoạn $IN$ và đường tròn $(I)$.

 

Chứng minh :

Gọi $N'$ là điểm đối xứng của $N$ qua tia $Oy\Rightarrow N'$ thuộc đoạn $I''M$.

Lấy điểm $P,Q$ bất kỳ lần lượt thuộc các tia $Ox$ và $Oy$, ta cần chứng minh $IP+PQ+QI\geqslant IM+MN+NI$

Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua tia $Oy$. Ta có :

$IP+PQ+QI=I'P+PQ+QI=I''P'+P'Q+QI\geqslant I''I=I''N'+N'M+MI$

$=I'N+NM+MI=IN+NM+MI$ (đpcm).

 

Biện luận :

Theo cách dựng trên thì bài toán chỉ có đúng $1$ nghiệm hình.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2017 - 09:38

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh