Đến nội dung


Hình ảnh

Tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 12-11-2012 - 21:01

Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1437 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 15-07-2017 - 07:34

Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất

Phân tích :

$AM+BN+MN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow IA+AM+MN+NB+BI$ nhỏ nhất.

Mà $IA+AM+MN+NB+BI\geqslant IM+MN+NI$

 

Cách dựng :

- Dựng điểm $I'$ đối xứng với $I$ qua tia $Ox$.

- Dựng điểm $I''$ đối xứng với $I'$ qua tia $Oy$.

- Dựng điểm $M$ là giao điểm của $I''I$ và $Oy$.

- Dựng điểm $N$ là giao điểm của $MI'$ và $Ox$.

- Điểm $A$ chính là giao điểm của đoạn $IM$ và đường tròn $(I)$.

- Điểm $B$ chính là giao điểm của đoạn $IN$ và đường tròn $(I)$.

 

Chứng minh :

Gọi $N'$ là điểm đối xứng của $N$ qua tia $Oy\Rightarrow N'$ thuộc đoạn $I''M$.

Lấy điểm $P,Q$ bất kỳ lần lượt thuộc các tia $Ox$ và $Oy$, ta cần chứng minh $IP+PQ+QI\geqslant IM+MN+NI$

Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua tia $Oy$. Ta có :

$IP+PQ+QI=I'P+PQ+QI=I''P'+P'Q+QI\geqslant I''I=I''N'+N'M+MI$

$=I'N+NM+MI=IN+NM+MI$ (đpcm).

 

Biện luận :

Theo cách dựng trên thì bài toán chỉ có đúng $1$ nghiệm hình.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2017 - 09:38

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh