Chủ đề này có 1 trả lời

[yellow]

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh $a$. Dựng ba đường tròn có tâm là ba đỉnh của tam giác có bán kính bằng $a$.
a) Tính diện tích chung của ba hình tròn.
b) Tính diện tích tất cả các phần nằm trong hai hình tròn nhưng không nằm trong hình còn lại.

[perfectstrong]

Lời giải:
a) $S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt 3}{4}$
Xét $(C;a)$. Ta tính diện tích hình viên phân bị giới hạn bởi $AB$ và cung $AB$.
\[
S_{vp\left( C \right)} = \pi a^2 .\frac{{60^o }}{{360^o }} - S_{ABC} = \frac{{\pi a^2 }}{6} - \frac{{a^2 \sqrt 3 }}{4} = a^2 .\frac{{2\pi - 3\sqrt 3 }}{{12}}
\]
Tương tự $S_{vp(A)}=S_{vp(B)}=S_{vp(C)}$
Do đó, diện tích phần chung của 3 đường tròn là:
\[
S = S_{ABC} + 3S_{vp\left( C \right)} = a^2 \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{2\pi - 3\sqrt 3 }}{4}} \right) = a^2 .\frac{{\pi - \sqrt 3 }}{2}
\]

b) Dễ thấy kết quả cần tính sẽ là
\[
S' = S_{ABC} + S_{vp\left( C \right)} + S_{vp\left( B \right)} - S_{vp\left( A \right)} = a^2 \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{2\pi - 3\sqrt 3 }}{{12}}} \right) = \frac{{a^2 \pi }}{6}
\]