Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?

nhị thức newton

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 13-11-2012 - 19:40

Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhang28091996: 13-11-2012 - 19:42


#2 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 13-11-2012 - 23:09

Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?


Để thuận tiện,ta viết $\frac{1}{x^k}=x^{-k}$
Ta có:
$(x+\frac{1}{x})^{20}=C^0_{20}x^{20}+C^1_{20}x^{19}+...+C^{20}_{20}$ (Dãy $1$)
$(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}=C^0_{20}x^{20}+(-1)^1C^1_{20}x^{18}+...+(-1)^{10}C^{10}_{20}+(-1)^{11}C^{11}_{20}x^{-2}+..+(-1))^{20}C^{20}x_{20}x^{-20}$ (Dãy $2$)
Nhận xét:
Trong $2$ dãy trên có nhiều nhất một cặp số đối nhau,tức có tổng $=0$ do $C^k_n=C^{n-k}_n$
Giả sử cặp số đó là $C^k_{20}x^{20-k}$ (dãy $1$) và $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t$ (dãy $2$)
Vì $t$ chẵn nên nhất định $20-k$ chẵn.Nhưng nếu vậy thì $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t>0$.
Vậy trong $2$ dãy trên không có cặp nào có tổng bằng $0$.
Vậy có tất cả:$21+10=31$ số hạng.

Hình đã gửi


#3 Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 20-11-2012 - 01:46

Để thuận tiện,ta viết $\frac{1}{x^k}=x^{-k}$
Ta có:
$(x+\frac{1}{x})^{20}=C^0_{20}x^{20}+C^1_{20}x^{19}+...+C^{20}_{20}$ (Dãy $1$)
$(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}=C^0_{20}x^{20}+(-1)^1C^1_{20}x^{18}+...+(-1)^{10}C^{10}_{20}+(-1)^{11}C^{11}_{20}x^{-2}+..+(-1))^{20}C^{20}x_{20}x^{-20}$ (Dãy $2$)
Nhận xét:
Trong $2$ dãy trên có nhiều nhất một cặp số đối nhau (tại sao nhỉ?),tức có tổng $=0$ do $C^k_n=C^{n-k}_n$
Giả sử cặp số đó là $C^k_{20}x^{20-k}$ (dãy $1$) và $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t$ (dãy $2$)
Vì $t$ chẵn nên nhất định $20-k$ chẵn.Nhưng nếu vậy thì $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t>0$.
Vậy trong $2$ dãy trên không có cặp nào có tổng bằng $0$.
Vậy có tất cả:$21+10=31$ số hạng.

Đọc lại 1 hồi thì thấy một số thắc mắc!

#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-11-2012 - 07:03

Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?

$$(x-\frac{1}{x^2})^{20}=\sum_{k=0}^{20}(-1)^kC_{20}^kx^{20-k}.x^{-2k}=(-1)^k\sum_{k=0}^{20}x^{20-3k}$$
$$(x+\frac{1}{x^2})^{20}=\sum_{l=0}^{20}(1)^lC_{20}^lx^{-20+l}.x^{l}=\sum_{l=0}^{20}x^{-20+2l}$$
Cho $-20+2l =20-3k \Rightarrow l=\frac{40-3k}{2}$
Tìm các số hạng có lũy thừa bằng nhau trong hai khai triển
$k=2 \to l=17$
$k=4 \to l=14$
$k=6 \to l=11$
$k=8 \to l=8$
$k=10 \to l=5$
$k=12 \to l=2$
Vậy có $21+21-6 =36$ số hạng.

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh