Chủ đề này có 7 trả lời

[anhxuanfarastar]

Giải hệ:$$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{y}=y^2+2y+1\\\sqrt{y^2+2y+22}-\sqrt{x}=x^2+2x+1\end{array}\right.$$
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 14-11-2012 - 18:41

[quoctruong1202]

Dùng phương pháp hàm số đi bạn!

[quoctruong1202]

ĐK:$\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của hai phương trình suy ra $\sqrt{x^2+2x+22}+(x+1)^2+\sqrt{x}=\sqrt{y^2+2y+22}+(y+1)^2+\sqrt{y}$
Xét hàm số f(t)=$\sqrt{t^2+2t+22}+(t+1)^2+\sqrt{t}$.Hàm số này rõ ràng đồng biến với mọi $t\geq 0$
Suy ra f(x)=f(y)$\Leftrightarrow x=y$
Khi đó ta có:$\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{x}=(x+1)^2 \Leftrightarrow \left (\sqrt{x^2+2x+22} -5 \right )-\left (\sqrt{x} -1 \right )=x^2+2x-3\Leftrightarrow \frac{\left ( x^2+2x-3 \right )}{\sqrt{x^2+2x+22} +5 }-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}= x^2+2x-3\Leftrightarrow (x-1)\left ( \frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+22} +5}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}-(x+3) \right )=0\Leftrightarrow x=1$
Phương trình còn lại vô nghiệm
Vậy hệ phương trình cónghiệm duy nhất là(x,y)=(1,1)

[anhxuanfarastar]

ĐK:$\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của hai phương trình suy ra $\sqrt{x^2+2x+22}+(x+1)^2+\sqrt{x}=\sqrt{y^2+2y+22}+(y+1)^2+\sqrt{y}$
Xét hàm số f(t)=$\sqrt{t^2+2t+22}+(t+1)^2+\sqrt{t}$.Hàm số này rõ ràng đồng biến với mọi $t\geq 0$
Suy ra f(x)=f(y)$\Leftrightarrow x=y$
Khi đó ta có:$\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{x}=(x+1)^2 \Leftrightarrow \left (\sqrt{x^2+2x+22} -5 \right )-\left (\sqrt{x} -1 \right )=x^2+2x-3\Leftrightarrow \frac{\left ( x^2+2x-3 \right )}{\sqrt{x^2+2x+22} +5 }-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}= x^2+2x-3\Leftrightarrow (x-1)\left ( \frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+22} +5}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}-(x+3) \right )=0\Leftrightarrow x=1$
Phương trình còn lại vô nghiệm
Vậy hệ phương trình cónghiệm duy nhất là(x,y)=(1,1)

Sao mà suy ra được f(x)=f(y) vậy bạn???

[anhxuanfarastar]

ĐK:$\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của hai phương trình suy ra $\sqrt{x^2+2x+22}+(x+1)^2+\sqrt{x}=\sqrt{y^2+2y+22}+(y+1)^2+\sqrt{y}$
Xét hàm số f(t)=$\sqrt{t^2+2t+22}+(t+1)^2+\sqrt{t}$.Hàm số này rõ ràng đồng biến với mọi $t\geq 0$
Suy ra f(x)=f(y)$\Leftrightarrow x=y$
Khi đó ta có:$\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{x}=(x+1)^2 \Leftrightarrow \left (\sqrt{x^2+2x+22} -5 \right )-\left (\sqrt{x} -1 \right )=x^2+2x-3\Leftrightarrow \frac{\left ( x^2+2x-3 \right )}{\sqrt{x^2+2x+22} +5 }-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}= x^2+2x-3\Leftrightarrow (x-1)\left ( \frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+22} +5}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}-(x+3) \right )=0\Leftrightarrow x=1$
Phương trình còn lại vô nghiệm
Vậy hệ phương trình cónghiệm duy nhất là(x,y)=(1,1)

Và sao mà biết được pt thứ 2 vô nghiệm zậy bạn???

[quoctruong1202]

Từ f(x)=f(y) là giả thiết đấy bạn! Sau đó nó mới tương đương x=y

[anhxuanfarastar]

Từ f(x)=f(y) là giả thiết đấy bạn! Sau đó nó mới tương đương x=y

Xét tính đồng biến của f(t) để làm gì vâỵ? Mình chưa hiều cho lắm, bạn giải thích rõ được
không???

[quoctruong1202]

Bạn hãy đọc tính chất sau:
Nếu hàm số f(t) đồng biến hoặc nghịch biến trên miền D nào đó thì với 2 số x,y thuộc D và f(x)=f(y) thì suy ra x=y
Bạn hãy đọc và chịu khó suy nghĩ 1 chút nhé,hi!