Chủ đề này có 2 trả lời

[hxthanh]

Cho dãy Fibonaci
$\{F_n\}_1^\infty\quad:\quad\begin{cases}F_1=F_2=1 \\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\ge 3\end{cases}$

Chứng minh rằng: $\quad\sum_{k=1}^n \left\lfloor\dfrac{1}{2}+\dfrac{F_{k}}{4}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{F_{n+2}}{4}\right\rfloor$

[hxthanh]

Gần 4 năm chưa có ai giải!

Up!

[chanhquocnghiem]

Cho dãy Fibonacci ...

Ta cần chứng minh $\left \lfloor \frac{F_{n+2}}{4} \right \rfloor=\sum_{k=1}^{n}\left \lfloor \frac{1}{2}+\frac{F_k}{4} \right \rfloor=\sum_{k=1}^{n}\left \lfloor \frac{F_k+2}{4} \right \rfloor$ (1)

với mọi $n\in \mathbb{N}^*$

+ Với $n=1$, ta có $\left \lfloor \frac{F_3}{4} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{F_1+2}{4} \right \rfloor=0\Rightarrow$ (1) đúng.

+ Giả sử (1) cũng đúng khi $n=m\geqslant 1$, tức là ta có $\left \lfloor \frac{F_{m+2}}{4} \right \rfloor=\sum_{k=1}^{m}\left \lfloor \frac{F_k+2}{4} \right \rfloor$

   Nhận xét rằng khi chia các số hạng trong dãy Fibonacci cho $4$ thì các số dư lần lượt là $1,1,2,3,1,0$ (lặp lại tuần hoàn)

   Do đó nếu đặt $F_{m+1}=4p+r$ ; $F_{m+2}=4q+s$ ($p,q,r,s\in \mathbb{N}$ và $0\leqslant r,s\leqslant 3$)

   thì có $6$ trường hợp có thể xảy ra :

   1) $r=1$ ; $s=1$                          3) $r=2$ ; $s=3$                       5) $r=1$ ; $s=0$

   2) $r=1$ ; $s=2$                          4) $r=3$ ; $s=1$                       6) $r=0$ ; $s=1$

   Trong cả $6$ trường hợp trên ta đều có $\left \lfloor \frac{s+r}{4} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{r+2}{4} \right \rfloor$ (2)

   Vậy $\left \lfloor \frac{F_{m+3}}{4} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{F_{m+2}+F_{m+1}}{4} \right \rfloor=\sum_{k=1}^{m}\left \lfloor \frac{F_k+2}{4} \right \rfloor+p+\left \lfloor \frac{s+r}{4} \right \rfloor$

   $=\sum_{k=1}^{m}\left \lfloor \frac{F_k+2}{4} \right \rfloor+p+\left \lfloor \frac{r+2}{4} \right \rfloor=\sum_{k=1}^{m}\left \lfloor \frac{F_k+2}{4} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{4p+r+2}{4} \right \rfloor$

   $=\sum_{k=1}^{m}\left \lfloor \frac{F_k+2}{4} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{F_{m+1}+2}{4} \right \rfloor=\sum_{k=1}^{m+1}\left \lfloor \frac{F_k+2}{4} \right \rfloor$

   Điều đó có nghĩa là (1) cũng đúng khi $n=m+1$

   Theo nguyên lý quy nạp, (1) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}^*$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-08-2016 - 12:32