KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
KHỐI 12 THPT CHUYÊN _NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (4 điểm)Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3^{2x+4}-5.2^{y}=3^{3-x}(81-5.8^{y})\\ 9^{x+1}+3^{3-x}.2^{3y-1}=3^{5-x}+2^{y-1} \end{matrix}\right. (x,y\in \mathbb{R})$
Bài 2 : (4 điểm)
Cho tứ diện $OPQR$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $(PQR)$. Gọi $G$ là trung điểm của đoạn $OH$. Gọi $J,K,L$ lần lượt là các hình chiếu vuông góc của $G$ lên các mặt phẳng $(OPQ)$, $(OQR)$, $(ORP)$.
Chứng minh răng $G$ là trọng tâm của tứ diện $HJKL$ khi và chỉ khi các đường thẳng $OP$, $OQ$, $OR$ vuông góc với nhau từng đôi một,
Bài 3 : (4 điểm)
Xét các số thực thay đổi $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) Với mọi $i, j$ thuộc tập $\begin{Bmatrix} 1;2;3;4;5 \end{Bmatrix}$, luôn có $\left | x_{i} -x_{j}\right |\leq 1$
ii) $5(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2})=3(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})^{2}$
Tìm giá trị nhở nhất của $T = x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}$Bài 4 : (4 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<BC<CA$. Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ có tâm $I$ và lần lượt tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$.
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $IAD, IBE, ICF$ có tâm cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5 : (4 điểm)
Chứng minh tồn tại hàm số $f$ xác định trên tập $X$ và lấy giá trị cũng trên tập $X$ thoả mãn điều kiện $f(f(f(t)))=t^3$ với mọi $t$ thuộc $X$, trong các trường hợp sau:
a) $X=\begin{pmatrix} 0; +\infty \end{pmatrix}.$
b) $X=\begin{pmatrix} 0; +\infty \end{pmatrix}\cap \mathbb{Z}.$
_______________Hết_______________
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 15-11-2012 - 17:12
