Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}\leq a+b\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
iloveyou123

iloveyou123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
Cho a,b>0 thoả mãn $a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}$
cmr $a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}\leq a+b\leq 2$

#2
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho a,b>0 thoả mãn $a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}$
cmr $a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}\leq a+b\leq 2$

@ta chứng minh bđt $a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}$ (*) trước
từ điều kiện $a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}\Rightarrow a^{3}\leq a^{2}+b^{3}-b^{4}\Rightarrow a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+2b^{3}-b^{4}$
do đó ta cần chứng minh

$a^{2}+2b^{3}-b^{4}\leq a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow b^{2}+b^{4}\geq 2b^{3}$

hay $b^{2}+b^{4}\geq 2\sqrt{b^{4}b^{2}}$ ( đúng theo AM-GM) => (*) đúng

@ áp dụng bđt C-S ta có

$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a ^{2}+b^{2})^{2}\Rightarrow (a+b)\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a^{3}+b^{3}}\geq a^{2}+b^{2}$ (**)

@ cũng sử dụng bđt C-S ta có

$(a^{2}+b^{2})(1+1)\geq (a +b)^{2}\Rightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq a+b$ (***)

từ (*)(**)(***) ta có đpcm
dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh