Cho a,b>0 thoả mãn $a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}$
cmr $a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}\leq a+b\leq 2$
$a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}\leq a+b\leq 2$
Bắt đầu bởi iloveyou123, 15-11-2012 - 22:03
#1
Đã gửi 15-11-2012 - 22:03
#2
Đã gửi 16-11-2012 - 17:33
@ta chứng minh bđt $a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}$ (*) trướcCho a,b>0 thoả mãn $a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}$
cmr $a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+b^{2}\leq a+b\leq 2$
từ điều kiện $a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}\Rightarrow a^{3}\leq a^{2}+b^{3}-b^{4}\Rightarrow a^{3}+b^{3}\leq a^{2}+2b^{3}-b^{4}$
do đó ta cần chứng minh
$a^{2}+2b^{3}-b^{4}\leq a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow b^{2}+b^{4}\geq 2b^{3}$
hay $b^{2}+b^{4}\geq 2\sqrt{b^{4}b^{2}}$ ( đúng theo AM-GM) => (*) đúng
@ áp dụng bđt C-S ta có$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a ^{2}+b^{2})^{2}\Rightarrow (a+b)\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a^{3}+b^{3}}\geq a^{2}+b^{2}$ (**)
@ cũng sử dụng bđt C-S ta có$(a^{2}+b^{2})(1+1)\geq (a +b)^{2}\Rightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq a+b$ (***)
từ (*)(**)(***) ta có đpcmdấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
- iloveyou123, BoFaKe, minhlaai29 và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh