Chủ đề này có 7 trả lời

[anhxuanfarastar]

Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh:$3\leq \frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-xz}\leq \frac{27}{8}$

[WhjteShadow]

Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh:$3\leq \frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-xz}\leq \frac{27}{8}$

Vế $\leq 3$ chắc không cần nhắc tới đâu nhỷ.
Ta cần chứng minh vế phải thôi.
Cách 1:
Ta đưa BĐT về dạng có thể sử dụng BĐT $Cauchy Schwarz:$
$$BDT \iff (\frac{1}{1-xy}-a)+(\frac{1}{1-yz}-a)+(\frac{1}{1-zx}-a)\leq \frac{27}{8}-3a$$
$$\iff \frac{axy-a+1}{1-xy}+\frac{ayz-a+1}{1-yz}+\frac{azx-a+1}{1-zx}\leq \frac{27}{8}-3a$$
Để sử dụng BĐT $Cauchy Schwarz$ thì $axy-a+1\le 0$ (để khi đổi chiều BĐT ta có thể sử dụng BĐT $Cauchy Schwarz$) và $|axy-a+1| min$ để đánh giá thêm chặt hơn!
Vì $xy< \frac{1}{4}$ nên ta chọn $a=\frac{4}{3}$
Từ đó ta có $$BDT\iff \frac{1-4xy}{1-xy}+\frac{1-4yz}{1-yz}+\frac{1-4zx}{1-zx}\ge \frac{15}{8}$$
Ta có $$\frac{1-4xy}{1-xy}+\frac{1-4yz}{1-yz}+\frac{1-4zx}{1-zx}{\ge }^{Cauchy Schwarz} \frac{(3-4(xy+yz+zx))^2}{4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-5(xy+yz+zx)+3}$$
Nên ta chỉ cần chứng minh $$8(3-4(xy+yz+zx))^2\ge 15(4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-5(xy+yz+zx)+3)$$
$$\iff 8(3-4q)^2\ge 15(4q^2-8r-5q+3)$$
(Với $q=xy+yz+zx, r=xyz$)
$$\iff 68q^2-117q+27+120r\ge 0$$
Vì $$r{\ge }^{Schur} \frac{1}{9}(4q-1)$$
Nên $$68q^2-117q+27+120r\ge 68q^2-117q+27+\frac{40}{3}(4q-1)$$
$$=\frac{1}{3}(3q-1)(68q-41)\ge 0 $$
Do $q\le \frac{1}{3}$
Vậy ta có đpcm.
Cách 2:
Cách đơn giản nhất là ta cứ quy đồng nên chứng minh bình thường
Bất đẳng thức tương đương với
\[3 + 19xyz \ge 11\left( {xy + yz + zx} \right) + 27{x^2}{y^2}{z^2}\]
Theo BĐT $AM-GM$ ta có
\[1 = x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow \frac{1}{{27}} \ge xyz \Rightarrow xyz \ge 27{x^2}{y^2}{z^2}\]
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
$$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc$$
Thay điều kiện $a+b+c=1$ thì ta có
$$9abc \ge 4(ab+bc+ca)-1$$
Vậy Ta sẽ chứng minh BĐT mạnh hơn là
\[3 + 2(4(xy + yz + zx) - 1) \ge 11(xy + yz + zx) \Leftrightarrow 1 \ge 3(xy+yz+zx)\]
\[ \Leftrightarrow {(x+y+z)^2} \ge 3(xy+yz+zx) \Leftrightarrow {(x-y)^2} + {(y-z)^2} + {(z-x)^2} \ge 0\]
Ta có được điều phải chứng minh
P/s:cách này phù hợp với kiến thức bậc THCS
Cách 3:
Với $t\in (0;\frac{1}{3})$ ta có: \[\frac{1}{1-t}\le \frac{243}{128}t^2+\frac{27}{32}t+\frac{129}{128}\\ \iff (9t-1)^2\frac{(1-3t)}{128(1-t)}\geq 0\]
Luôn đúng, do đó $$VT\le \frac{243}{128}(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+\frac{27}{32}(xy+yz+zx)+\frac{387}{128}.$$ Vậy ta chỉ cần chứng minh \[ \frac{243}{128}(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+\frac{27}{32}(xy+yz+zx)\leq \frac{45}{128}\\ \iff 243q^2-486r+108q \leq 45\] Với $q=xy+yz+zx, r=xyz.$
*Nếu $0<q \leq \frac{1}{4}$ thì BĐT luôn đúng.
*Nếu $\frac{1}{4}<q\le \frac{1}{3}$
Khi đó, theo BĐT $S.chur$ ta có: $r \ge \frac{4q-1}{9}$
Do đó \[243q^2-486r+108q\le 243q^2-54(4q-1)+108\\ =243q^2-108q+54\\ =9(9q-1)(3q-1)+45\le 45\] Từ đây ta dễ suy ra đpcm.
Còn cách 4 bạn tham khảo sáng tạo bđt phần Chebyshev nha

[Joker9999]

Vế $\leq 3$ chắc không cần nhắc tới đâu nhỷ.

Tớ dỗi hơi nên làm cho gọn
Do $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy,zx,yz\geq 0\Rightarrow 1-xy,1-xz,1-yz\leq 1$
Vậy $\sum \frac{1}{1-xy}\geq 1+1+1=3$
Đẳng thức xảy ra khi 2 số=0, 1 số =1

-----------------------------------
Kỹ thuật thêm tham số a bạn có thể tham khảo trong cuốn CS của anh Cẩn viết khá đầy đủ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 29-11-2012 - 21:58

[provotinhvip]

-----------------------------------
Kỹ thuật thêm tham số a bạn có thể tham khảo trong cuốn CS của anh Cẩn viết khá đầy đủ

bạn có link không? cho mình đi!!

[Joker9999]

bạn có link không? cho mình đi!!

À không nhưng cuốn này mình thấy bán tràn lan.
Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh BẤt Đẳng thức của VÕ Quốc Bá Cần và Trần Quốc Anh.
Bạn ra hiệu sách mua đầy mờ.

[anhxuanfarastar]

Tớ dỗi hơi nên làm cho gọn
Do $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy,zx,yz\geq 0\Rightarrow 1-xy,1-xz,1-yz\leq 1$
Vậy $\sum \frac{1}{1-xy}\geq 1+1+1=3$
Đẳng thức xảy ra khi 2 số=0, 1 số =3

-----------------------------------
Kỹ thuật thêm tham số a bạn có thể tham khảo trong cuốn CS của anh Cẩn viết khá đầy đủ

2 số=0 và 1 số=3 là sao vậy bạn???

[Joker9999]

2 số=0 và 1 số=3 là sao vậy bạn???

Thì có nghĩa là đẳng thức xảy ra khi $a=b=0,c=1$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 29-11-2012 - 21:58

[KietLW9]

Chứng minh: $\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac{1}{1-yz}+\dfrac{1}{1-zx}\leq \dfrac{27}{8}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Còn min thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 30-03-2021 - 19:13