Đến nội dung

Hình ảnh

$(1+x+x^2+x^3)^{15}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
$(1+x+x^2+x^3)^{15}$
Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển trên
~~~like phát~~~

#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Xét bài toán tìm các bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình
$a+2b+3c = 10$
Đó là $(1,0,3);(4,0,2);(2,1,2);(0,2,2);(1,3,1);(3,2,1);(5,1,1);(7,0,1);(0,5,0);(2,4,0);(4,3,0);(6,2,0);(8,1,0);(10,0,0)$

Hệ số cần tìm là:
$\dfrac{15!}{1!0!3!11!}+\dfrac{15!}{4!0!2!9!}+\dfrac{15!}{2!1!2!10!}+\dfrac{15!}{0!2!2!11!}+\dfrac{15!}{1!3!1!10!}+\dfrac{15!}{3!2!1!9!}+\dfrac{15!}{5!1!1!8!}+\dfrac{15!}{7!0!1!7!}+\dfrac{15!}{0!5!0!10!}+\dfrac{15!}{2!4!0!9!}+\dfrac{15!}{4!3!0!8!}+\dfrac{15!}{6!2!0!7!}+\dfrac{15!}{8!1!0!6!}+\dfrac{15!}{10!0!0!5!}$
$=1\,392\,456$

#3
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
Còn 1 hướng đi khác, bạn phân tích đa thức thành nhân tử, rồi khai triển từng nhân tử ra :)
ĐCG !

#4
robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

$(1+x+x^2+x^3)^{15}$
Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển trên

Cách khác, công cụ số phức :')
-Lấy $P(x)=(1+x+x^2+x^3)^{15}$
-Với $a=e^{i\frac{2\pi }{10}}$ , có $a^{10}=1$, $a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0$
-Nên nếu lấy $k_n$ là hệ số ở bậc $n$
Có:$10(k_0+k_{10}+k_{20}+k_{30}+k_{40})=P(a^9)+P(a^8)+P(a^7)+P(a^6)+P(a^5)+(a^4)+P(a^3)+P(a^2)+P(a)+P(1)=A$
-Tương tự với $b=e^{i\frac{2\pi }{20}}$, $c=e^{i\frac{2\pi }{30}}$:
có $20(k_0+k_{20}+k_{40})=P(1)+P(b)+P(b^2)+...+P(b^{19})=B$,
$30(k_0+k_{30})=P(1)+P$$($$c)+P(c^2)+...+P(c^{29})=C$
Nên $k_{10}=\frac{A}{10}-\frac{B}{20}-\frac{C}{30}+1$ ($k_0=1$)
Việc tính toán thì để máy tính làm hết ^^~
(srr...mình có nhầm lúc trước :')

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 21-11-2012 - 15:40

^^~

#5
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Cách khác, công cụ số phức :')
-Lấy $P(x)=(1+x+x^2+x^3)^{15}$
-Với $a=e^{i\frac{2\pi }{10}}$ , có $a^{10}=1$, $a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0$
-Nên nếu lấy $k_n$ là hệ số ở bậc $n$
Có:$10(k_0+k_{10}+k_{20}+k_{30}+k_{40})=P(a^9)+P(a^8)+P(a^7)+P(a^6)+P(a^5)+(a^4)+P(a^3)+P(a^2)+P(a)+P(1)=A$
-Tương tự với $b=e^{i\frac{2\pi }{20}}$, $c=e^{i\frac{2\pi }{30}}$:
có $20(k_0+k_{20}+k_{40})=P(1)+P(b)+P(b^2)+...+P(b^{19})=B$,
$30(k_0+k_{30})=P(1)+P$$($$c)+P(c^2)+...+P(c^{29})=C$
Nên $k_{10}=\frac{A}{10}-\frac{B}{20}-\frac{C}{30}+1$ ($k_0=1$)
Việc tính toán thì để máy tính làm hết ^^~
(srr...mình có nhầm lúc trước :')

Em giảng lại bài này chi tiết được không?
Tôi đọc đi đọc lại mãi vẫn không hiểu! :(

#6
robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Em giảng lại bài này chi tiết được không?
Tôi đọc đi đọc lại mãi vẫn không hiểu! :(

(...nếu nhầm chỗ nào thì thầy chỉ cho em nha :')
-

Cách khác, công cụ số phức :')
-Lấy $P(x)=(1+x+x^2+x^3)^{15}$
-Với $a=e^{i\frac{2\pi }{10}}$ , có $a^{10}=1$, $a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0$
-Nên nếu lấy $k_n$ là hệ số ở bậc $n$
Có:$10(k_0+k_{10}+k_{20}+k_{30}+k_{40})=P(a^9)+P(a^8)+P(a^7)+P(a^6)+P(a^5)+(a^4)+P(a^3)+P(a^2)+P(a)+P(1)=A$
....

-Trước hết, ta có bậc của $P$ là: $degP=3.15=45$
Nên tổng quát,ta có: $P(x)=\sum_{i=0}^{45}{k_ix^i}$
-Với trường hợp trên, lấy $a=e^{i\frac{2\pi }{10}}=Cos(\frac{2\pi }{10})+iSin(\frac{2\pi }{10})$
Ở đây,ta chọn $a$ là một nghiệm khác 1 bất kì của phương trình $x^{10}=1$ để có $\sum_{i=0}^{9}{a^i}=0$
Và với $a^{10}=1$ nên ta có: $a^k=a^h$ $(0\leq h \leq 9)$ $\forall k\equiv h(mod10)$
Do đó:
$\sum_{i=0}^{9}{P(a^i)}=\sum_{i=0}^{9}{a^i}.\sum_{inot\vdots 10}{k^i}+10\sum_{i\vdots 10}{k^i}=10(k_0+k_{10}+k_{20}+k_{30}+k_{40})$
..hai cái kia cũng tương tự :')
....nhưng cách này thì việc tính toán có vẻ vất vả hơn rất nhìu nhỉ~~ ^^~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 23-11-2012 - 16:57

^^~

#7
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

$(1+x+x^2+x^3)^{15}$
Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển trên


Còn cách đơn giản hơn.
Ta viết lại:
$(1+x+x^2 +x^3)^{15}=(\frac{1-x^4}{1-x})^{15}$
$=\sum_{k=0}^{15}C^{k}_{15}(-x^4)^{k}.\frac{1}{(1-x)^{15}}$
Ta cần tìm hệ số $x^{10}$ nên $k=0;k=1;k=2$
Khi đó hệ số của $x^{10}$ trong khai triển là:
$C^{10}_{24}-1. C^{1}_{15}C^{10-4}_{15+10-4-1}+ 1.C^{2}_{15}C^{10-8}_{10-8+15-1}=C^{10}_{24}+C^{2}_{15}C^{2}_{16}-15C^{6}_{20}=1392456$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhang28091996: 21-12-2012 - 20:40


#8
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
$C_{16}^2-C_{20}^6=-38640$

Còn nếu ngại tính thì bấm vào đây!

#9
Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết

Còn cách đơn giản hơn.
Ta viết lại:
$(1+x+x^2 +x^3)^{15}=(\frac{1-x^4}{1-x})^{15}$
$=\sum_{k=0}^{15}C^{k}_{15}(-x^4)^{k}.\frac{1}{(1-x)^{15}}$
Ta cần tìm hệ số $x^{10}$ nên $k=1;k=2$
Khi đó hệ số của $x^{10}$ trong khai triển là:
$-1.C^{10-4}_{15+10-4-1}+ 1.C^{10-8}_{10-8+15-1}=C^{2}_{16}-C^{6}_{20}$(cái này là áp dụng hàm sinh)

$C_{16}^2-C_{20}^6=-38640$

Còn nếu ngại tính thì bấm vào đây!

^^
sao lại âm nhỉ trời

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 21-12-2012 - 00:04

~~~like phát~~~

#10
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

^^
sao lại âm nhỉ trời

$C_{16}^2-C_{20}^6=-38640$

Còn nếu ngại tính thì bấm vào đây!

Em quên mất trường hợp $k=0$.Đã sửa! :P




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh