Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}=?$

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-11-2012 - 19:10

Bài toán: Tính toán 2 tổng sau:

  • $S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}$
  • $S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$

Ký hiệu ${n\choose k}=\complement_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-11-2013 - 09:56

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng    @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 12/11 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 cesc1996

cesc1996

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Đã gửi 10-11-2013 - 11:54

Bài toán: Tính toán 2 tổng sau:

  • $S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}$
  • $S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$

Ký hiệu ${n\choose k}=\complement_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

1,2 .Nhận xét 

2/ $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.a^{n-k}.b^{k}$

chọn $\left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=k & \end{matrix}\right.$

ta có

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

 

1/ ta có $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}.k^{n-k}$

 Mà theo câu 2 $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=((k+1)^{k}-1).k^{n-k}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cesc1996: 10-11-2013 - 15:38


#4 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 12-11-2013 - 19:06

1,2 .Nhận xét 

2/ $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.a^{n-k}.b^{k}$

chọn $\left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=k & \end{matrix}\right.$

ta có

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

 

1/ ta có $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}.k^{n-k}$

 Mà theo câu 2 $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=((k+1)^{k}-1).k^{n-k}$

Vì k thay đổi nên cách này ko phù hợp...Yêu cầu bạn xem lại nhá!!! :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh