Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện : $P(2006)=2006! $và $xP(x-1)=(x-2006)P(x)$ .Chứng minh rằng: $f(x)=(P(x))^2+1$ bất khả quy trong $Z [x]$

[minhtuyb]

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện : $P(2006)=2006! $và $xP(x-1)=(x-2006)P(x)\ (*)$ .Chứng minh rằng: $f(x)=(P(x))^2+1$ bất khả quy trong $Z [x]$

-Thay $x=0$ vào $(*)\Rightarrow P(0)=0$

-Thay $x=2006$ vào $(*)$ ta có:
$$2006P(2005)=0\Rightarrow P(2005)=0$$

-Thay $x=2005$ vào $(*)$ ta có:
$$2005P(2004)=0\Rightarrow P(2004)=0$$

Tiếp tục quá trình trên suy ra: $P(k)=0$ với $k=\overline{0,2005}$

-Theo định lý Bezout thì đa thức $P(x)$ có dạng:
$$P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2005)Q(x)$$

Từ (*) ta có thể dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng:
$$P(2006+n)=\dfrac{(2006+n)!}{n!}\ \ n\in \mathbb{N}$$

Từ đó suy ra:
$$P(2006+n)=(2006+n)(2005+n)...(1+n)Q(2006+n)\\ \Leftrightarrow \dfrac{(2006+n)!}{n!}= \dfrac{(2006+n)!}{n!}Q(2006+n)\\ \Leftrightarrow Q(2006+n)=1\ \ \forall n\in \mathbb{N}\\ \Rightarrow Q(x)\equiv 1$$

Khi đó viết lại $P(x)$:
$$P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2005)$$

Công việc chứng minh $f(x)=(P(x))^2+1$ bất khả quy trong $Z [x]$ bây giờ trở thành một bài toán quen thuộc $\square$