Chủ đề này có 4 trả lời

[hola0905]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R),điểm M di động sao cho AM,BM,CM lần lượt cắt (O;R) tại điểm thứ 2 là A',B',C'.
Tìm quỹ tích điểm M sao cho $\frac{MA}{MA'}+\frac{MB}{MB'}+\frac{MC}{MC'}=3$

[perfectstrong]

Lời giải:
Gọi $G$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
\[
\begin{array}{rcl}
\frac{{MA}}{{MA'}} + \frac{{MB}}{{MB'}} + \frac{{MC}}{{MC'}} &=& \frac{{MA^2 }}{{MA'.MA}} + \frac{{MB^2 }}{{MB'.MB}} + \frac{{MC^2 }}{{MC.MC'}} \\
&=& \frac{{MA^2 + MB^2 + MC^2 }}{{\left| {P_{M/\left( O \right)} } \right|}} \\
&=& \frac{{\sum {\left( {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right)^2 } }}{{\left| {P_{M/\left( O \right)} } \right|}} \\
&=& \frac{{GA^2 + GB^2 + GC^2 - 2\overrightarrow {GM} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{\left| {P_{M/\left( O \right)} } \right|}} \\
&=& \frac{{GA^2 + GB^2 + GC^2 }}{{\left| {P_{M/\left( O \right)} } \right|}} \\
\end{array}
\]
Ta cũng có kết quả sau:
\[
GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{4}{9}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 } \right) = \frac{4}{9}.\frac{{3(a^2 + b^2 + c^2) }}{4} = \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{3}
\]
Và chú ý $OG^2=R^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{9} \ge 0 \Rightarrow 9R^2 \ge a^2+b^2+c^2$
Do đó
\[
\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{MA}}{{MA'}} + \frac{{MB}}{{MB'}} + \frac{{MC}}{{MC'}} = 3} \\
{ \Leftrightarrow \frac{{GA^2 + GB^2 + GC^2 }}{{\left| {P_{M/\left( O \right)} } \right|}} = 3} \\
{ \Leftrightarrow \left| {P_{M/\left( O \right)} } \right| = \frac{{GA^2 + GB^2 + GC^2 }}{3}} \\
{ \Leftrightarrow \left| {OM^2 - R^2 } \right| = \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9}} \\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{OM = \sqrt {R^2 + \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9}} } \\
{OM = \sqrt {R^2 - \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9}} }=OG \\
\end{array}} \right.} \\
\end{array}
\]
Như vậy, quỹ tích của $M$ là 2 đường tròn:
\[
\left( {O;\sqrt {R^2 + \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{9}}} } \right);\left( {O;OG} \right)
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-11-2012 - 16:19

[BlackSelena]

...

hjx
Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$, theo kết quả của bài tập này thì ta có $R^2 = OG^2 + \frac{a^2+b^2+c^2}{9}$ (1)
Dễ có $MA.MA' = MB.MB' = MC.MC' = R^2 - OM^2$
Nên ta có $\frac{MA}{MA'} = \frac{MA^2}{R^2-OM^2}$, $\frac{MB}{MB'} = \frac{MB^2}{R^2-OM^2}$, $\frac{MC}{MC'} = \frac{MC^2}{R^2-OM^2}$
Từ đó $\frac{MA^2 + MB^2+MC^2}{R^2-OM^2} = 3$
$\Rightarrow \frac{9MG^2 + a^2+b^2+c^2}{3} = 3R^2 - 3OM^2$
$\Leftrightarrow MG^2 + OM^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{9}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow M$ nằm trên đường tròn đường kính $OG:const$
________
Thật sự cách em chẳng khác cách anh là mô nhưng được cái xài THCS @_@!, với cả kết quả có vẻ đẹp hơn xíu ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 18-11-2012 - 22:27

[perfectstrong]

hjx
Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$, theo kết quả của bài tập này thì ta có $R^2 = OG^2 + \frac{a^2+b^2+c^2}{9}$ (1)
Dễ có $MA.MA' = MB.MB' = MC.MC' = R^2 - OM^2$
Nên ta có $\frac{MA}{MA'} = \frac{MA^2}{R^2-OM^2}$, $\frac{MB}{MB'} = \frac{MB^2}{R^2-OM^2}$, $\frac{MC}{MC'} = \frac{MC^2}{R^2-OM^2}$
Từ đó $\frac{MA^2 + MB^2+MC^2}{R^2-OM^2} = 3$
$\Rightarrow \frac{9MG^2 + a^2+b^2+c^2}{3} = 3R^2 - 3OM^2$
$\Leftrightarrow MG^2 + OM^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{9}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow M$ nằm trên đường tròn đường kính $OG:const$
________
Thật sự cách em chẳng khác cách anh là mô nhưng được cái xài THCS @_@!, với cả kết quả có vẻ đẹp hơn xíu ^^

Bài này không cho $M$ nằm trong hay nằm ngoài $(O)$ nên phải lấy là $|P_{M/(O)}|$, còn kết quả của em chỉ đúng khi $M$ nằm trong $(O)$ thôi.

[L Lawliet]

Bài này không cho $M$ nằm trong hay nằm ngoài $(O)$ nên phải lấy là $|P_{M/(O)}|$, còn kết quả của em chỉ đúng khi $M$ nằm trong $(O)$ thôi.

Bài giải trên là của anh vuong_pn đăng trên diễn đàn mathscope và em là người gửi bài ấy lên, anh Hân đăng lại lời giải lên bên ấy luôn được không ạ?

@Perfectstrong: Em đăng giúp anh được không

@Quân: Dạ ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 19-11-2012 - 16:50