Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR IH vuông góc với AM.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 hola0905

hola0905

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết

Đã gửi 18-11-2012 - 17:56

Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.Gọi M là trung điểm cạnh BC,EF cắt BC tại I.CMR IH vuông góc với AM.

#2 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-11-2012 - 21:11

Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.Gọi M là trung điểm cạnh BC,EF cắt BC tại I.CMR IH vuông góc với AM.

Lời giải:
Gin.png
Vì $BE\perp CA$, $CF\perp AB$ nên $B$, $C$, $E$, $F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$ tâm là trung điểm $M$ của $BC$.
Theo kết quả tính chất của cực và đối cực ta có $AH$ là đường đối cực của $I$ so với $\left ( C \right )$, $IH$ là đường đối cực của $A$ so với $\left ( C \right )$.
Suy ra $H$ là cực của $AI$ so với $\left ( C \right )$ nên $MH\perp AI$.
Trong tam giác $AIM$ có $AH\perp AM$, $MH\perp AI$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $AIM$ do đó $IH\perp AM$. $\blacksquare$

Thích ngủ.


#3 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-11-2012 - 21:21

Một cách giải khác dùng thuần kiến thức THCS ạ ^^ (http://diendantoanho...220#entry344420)
Bài 83
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#4 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 24-11-2012 - 20:17

Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.Gọi M là trung điểm cạnh BC,EF cắt BC tại I.CMR IH vuông góc với AM.

Đào mộ phát, cách khác:
----
Lời giải:
Ta có:
$\widehat{EFH}=\widehat{EAH}=\widehat{EBC}=\widehat{DFE}\\ \Rightarrow \widehat{DFE}=2.\widehat{DFH}=2.\widehat{EBC}=\widehat{EMC}$.
Suy ra tứ giác $EMDF$ nội tiếp.
Từ đó ta có $\overline{IF}.\overline{IE}=\overline{ID}.\overline{IM}$, suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính $MH$ và đường tròn đường kính $AH$.
Mặt khác $H$ là giao điểm của đường tròn đường kính $MH$ với đường tròn đường kính $AH$, suy ra $IH$ là trục đẳng phương của đường tròn đường kính $MH$ với đường tròn đường kính $AH$.
Suy ra $IH\parallel OI$ (với $O$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $MH$ và $AH$), rõ ràng $OI\parallel AM$ nên $IH\parallel AM$. $\blacksquare$

Thích ngủ.


#5 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 10-01-2013 - 01:21

(I,D,B,C)=-1 M là trung điểm BC
Theo maclorank
\overline{IB}.\overline{IC}=\overline{ID}.\overline{IM}
do đó DMEF nội tiếp

IF
¯¯¯¯.IE¯¯¯¯=ID¯¯¯¯.IM¯¯¯¯
¯

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#6 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 10-01-2013 - 22:43

Gin.png

Chả có việc gì .Thêm cách nữa cho nó máu.:)).Mượn hình "Đại ca gin" :))
Dễ thấy tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn tâm $M$ có $BF\cap EC= A;EF\cap BC=I;BE\cap CF= H$ nên theo định lí $Brokad$ thì
$M$ là trực tâm tam giác $AHI$ suy ra $IH\perp AM$ suy ra $Q.E.D$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh