Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.Gọi M là trung điểm cạnh BC,EF cắt BC tại I.CMR IH vuông góc với AM.
CMR IH vuông góc với AM.
Bắt đầu bởi hola0905, 18-11-2012 - 17:56
#2
Đã gửi 18-11-2012 - 21:11
Lời giải:Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.Gọi M là trung điểm cạnh BC,EF cắt BC tại I.CMR IH vuông góc với AM.
Vì $BE\perp CA$, $CF\perp AB$ nên $B$, $C$, $E$, $F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$ tâm là trung điểm $M$ của $BC$.
Theo kết quả tính chất của cực và đối cực ta có $AH$ là đường đối cực của $I$ so với $\left ( C \right )$, $IH$ là đường đối cực của $A$ so với $\left ( C \right )$.
Suy ra $H$ là cực của $AI$ so với $\left ( C \right )$ nên $MH\perp AI$.
Trong tam giác $AIM$ có $AH\perp AM$, $MH\perp AI$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $AIM$ do đó $IH\perp AM$. $\blacksquare$
- perfectstrong, BlackSelena, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
Thích ngủ.
#3
Đã gửi 18-11-2012 - 21:21
- L Lawliet và WhjteShadow thích
#4
Đã gửi 24-11-2012 - 20:17
Đào mộ phát, cách khác:Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.Gọi M là trung điểm cạnh BC,EF cắt BC tại I.CMR IH vuông góc với AM.
----
Lời giải:
Ta có:
$\widehat{EFH}=\widehat{EAH}=\widehat{EBC}=\widehat{DFE}\\ \Rightarrow \widehat{DFE}=2.\widehat{DFH}=2.\widehat{EBC}=\widehat{EMC}$.
Suy ra tứ giác $EMDF$ nội tiếp.
Từ đó ta có $\overline{IF}.\overline{IE}=\overline{ID}.\overline{IM}$, suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính $MH$ và đường tròn đường kính $AH$.
Mặt khác $H$ là giao điểm của đường tròn đường kính $MH$ với đường tròn đường kính $AH$, suy ra $IH$ là trục đẳng phương của đường tròn đường kính $MH$ với đường tròn đường kính $AH$.
Suy ra $IH\parallel OI$ (với $O$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $MH$ và $AH$), rõ ràng $OI\parallel AM$ nên $IH\parallel AM$. $\blacksquare$
- perfectstrong, WhjteShadow và IloveMaths thích
Thích ngủ.
#5
Đã gửi 10-01-2013 - 01:21
(I,D,B,C)=-1 M là trung điểm BC
Theo maclorank
\overline{IB}.\overline{IC}=\overline{ID}.\overline{IM}
do đó DMEF nội tiếp
IF
¯¯¯¯.IE¯¯¯¯=ID¯¯¯¯.IM¯¯¯¯
¯
Theo maclorank
\overline{IB}.\overline{IC}=\overline{ID}.\overline{IM}
do đó DMEF nội tiếp
IF
¯¯¯¯.IE¯¯¯¯=ID¯¯¯¯.IM¯¯¯¯
¯
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#6
Đã gửi 10-01-2013 - 22:43
Chả có việc gì .Thêm cách nữa cho nó máu..Mượn hình "Đại ca gin"
Dễ thấy tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn tâm $M$ có $BF\cap EC= A;EF\cap BC=I;BE\cap CF= H$ nên theo định lí $Brokad$ thì
$M$ là trực tâm tam giác $AHI$ suy ra $IH\perp AM$ suy ra $Q.E.D$
- L Lawliet, BlackSelena và IloveMaths thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh