Cho dãy Fibonacci $\{F_n\}_{(n\ge 0)}$
Bằng cách nào đó bạn hãy chứng minh đẳng thức:
$$2\sum_{k=1}^n F_k^3=3F_nF_{n+1}^2-F_n^3-F_{n+1}^3+1$$
luôn đúng với mọi số nguyên dương $n$
CMR: $2S=3F_nF_{n+1}^2-F_n^3-F_{n+1}^3+1$
Bắt đầu bởi hxthanh, 18-11-2012 - 22:47
fibonacci supermember
#1
Đã gửi 18-11-2012 - 22:47
- dark templar, PRONOOBCHICKENHANDSOME và Mrnhan thích
#2
Đã gửi 20-11-2012 - 20:39
Liều mạng quăng bom
Lời giải:
\begin{equation}
2\sum\limits_{k = 1}^n {F_k^3 } = 3F_n F_{n + 1}^2 - F_n^3 - F_{n + 1}^3 + 1
\label{1}\end{equation}
Ta chứng minh \eqref{1} bằng quy nạp.
Với $n=1$
\[
3F_1 F_2^2 - F_1^3 - F_2^3 + 1 = 3.1.1^2 - 1^3 - 1^3 + 1 = 2 = 2F_1^3
\]
Nên \eqref{1} đúng với $n=1$. Giả sử \eqref{1} đúng đến $n$, ta chứng minh \eqref{1} cũng đúng đến $n+1$.
\[
\begin{array}{rcl}
2\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {F_k^3 } &=& 2\sum\limits_{k = 1}^n {F_k^3 } + 2F_{n + 1}^3 \\
&=& 3F_n F_{n + 1}^2 - F_n^3 - F_{n + 1}^3 + 1 + 2F_{n + 1}^3 \\
&=& 3F_{n + 1}^3 + 6F_n F_{n + 1}^2 + 3F_{n + 1} F_n^2 - F_{n + 1}^3 - F_n^3 - 3F_n F_{n + 1}^2 - 3F_n^2 F_{n + 1} - F_{n + 1}^3 + 1 \\
&=& 3F_{n + 1} \left( {F_n + F_{n + 1} } \right)^2 - F_{n + 1}^3 - \left( {F_n + F_{n + 1} } \right)^3 + 1 \\
&=& 3F_{n + 1} F_{n + 2}^2 - F_{n + 1}^3 - F_{n + 2}^3 + 1 \\
\end{array}
\]
Suy ra \eqref{1} đúng đến $n+1$ nên \eqref{1} đúng với mọi $n$. Ta có đpcm
Lời giải:
\begin{equation}
2\sum\limits_{k = 1}^n {F_k^3 } = 3F_n F_{n + 1}^2 - F_n^3 - F_{n + 1}^3 + 1
\label{1}\end{equation}
Ta chứng minh \eqref{1} bằng quy nạp.
Với $n=1$
\[
3F_1 F_2^2 - F_1^3 - F_2^3 + 1 = 3.1.1^2 - 1^3 - 1^3 + 1 = 2 = 2F_1^3
\]
Nên \eqref{1} đúng với $n=1$. Giả sử \eqref{1} đúng đến $n$, ta chứng minh \eqref{1} cũng đúng đến $n+1$.
\[
\begin{array}{rcl}
2\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {F_k^3 } &=& 2\sum\limits_{k = 1}^n {F_k^3 } + 2F_{n + 1}^3 \\
&=& 3F_n F_{n + 1}^2 - F_n^3 - F_{n + 1}^3 + 1 + 2F_{n + 1}^3 \\
&=& 3F_{n + 1}^3 + 6F_n F_{n + 1}^2 + 3F_{n + 1} F_n^2 - F_{n + 1}^3 - F_n^3 - 3F_n F_{n + 1}^2 - 3F_n^2 F_{n + 1} - F_{n + 1}^3 + 1 \\
&=& 3F_{n + 1} \left( {F_n + F_{n + 1} } \right)^2 - F_{n + 1}^3 - \left( {F_n + F_{n + 1} } \right)^3 + 1 \\
&=& 3F_{n + 1} F_{n + 2}^2 - F_{n + 1}^3 - F_{n + 2}^3 + 1 \\
\end{array}
\]
Suy ra \eqref{1} đúng đến $n+1$ nên \eqref{1} đúng với mọi $n$. Ta có đpcm
- supermember, hxthanh, BoFaKe và 1 người khác yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 21-11-2012 - 18:30
Ta có thể rút gọn tổng này lại dưới dạng sau,nhìn có vẻ "đẹp" hơn:Cho dãy Fibonacci $\{F_n\}_{(n\ge 0)}$
Bằng cách nào đó bạn hãy chứng minh đẳng thức:
$$2\sum_{k=1}^n F_k^3=3F_nF_{n+1}^2-F_n^3-F_{n+1}^3+1$$
luôn đúng với mọi số nguyên dương $n$
$$2\sum_{k=1}^{n+1}F_{k}^3=F_{3n+2}+1-2F_{n}^3$$
P/s:Mong một lời giải thuần Đại Số.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-11-2012 - 18:31
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#4
Đã gửi 21-11-2012 - 18:37
Ok, theo nguyện vọng của dark templar, tôi sẽ giải bài này bằng cách thuần Đại SốTa có thể rút gọn tổng này lại dưới dạng sau,nhìn có vẻ "đẹp" hơn:
$$2\sum_{k=1}^{n+1}F_{k}^3=F_{3n+2}+1-2F_{n}^3$$
P/s:Mong một lời giải thuần Đại Số.
(Quy nạp thì không nói làm gì, bởi thường thì biết được kết quả rồi mới "giả vờ" quy nạp )
Viết lại đẳng thức trên như sau (cho đẹp hơn chút nữa)
$\begin{align}2\sum_{k=1}^n F_k^3=F_{3n-1}+1-2F_{n-1}^3\label{a2}\end{align}$
Xét tổng:
$S=\sum_{k=1}^n F_k^3$
Đặt $\begin{cases}g(k)=F_k^2\\ \Delta f(k)=F_k=F_{k+2}-F_{k+1}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\Delta g(k)=F_{k+1}^2-F_k^2\\ f(k)=F_{k+1}=F_{k}+F_{k-1}\end{cases}$
Áp dụng sai phân từng phần ta có:
$S=F_{k+1}F_k^2\left|\begin{align*}{}^{n+1}\\{}_{k=1}\end{align*}\right.-\sum_{k=1}^n \left((F_{k+1}+F_k)(F_{k+1}^2-F_k^2)\right)$
$S=F_{n+2}F_{n+1}^2-1-\sum_{k=1}^n\left(F_{k+1}^3-F_k^3+F_kF_{k+1}^2-F_k^2F_{k+1}\right)$
$\Rightarrow 3S=-3+3F_{n+2}F_{n+1}^2-\sum_{k=1}^n\left(3F_{k+1}^3-3F_k^3+3F_kF_{k+1}^2-3F_k^2F_{k+1}\right)$
$\Rightarrow 3S=-3+3F_{n+2}F_{n+1}^2-\sum_{k=1}^n\left(4F_{k+1}^3-4F_k^3\right)+\sum_{k=1}^n\left(F_{k+1}-F_k\right)^3$
$\Rightarrow 3S=-3+3F_{n+2}F_{n+1}^2-(4F_{n+1}^3-4)+\sum_{k=1}^nF_{k-1}^3$
$\Rightarrow 3S=1+3F_{n+2}F_{n+1}^2-4F_{n+1}^3+\sum_{k=0}^{n-1}F_k^3$
$\Rightarrow 3S=1+3F_{n+2}F_{n+1}^2-4F_{n+1}^3+(S-F_n^3)$
$\Rightarrow \begin{align}2S=1+3F_{n+2}F_{n+1}^2-4F_{n+1}^3-F_n^3\label{a3}\end{align}$
Đến đây thay giá trị $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ ở vế phải $(\ref{a3})$ ta được bài toán gốc!
Dùng các phép biến đổi các nghiệm của phương trình $X^2=X+1$ (như trong bày này dark templar đã giải thích khá chi tiết)
ta biến đổi được thành $(\ref{a2})$
- dark templar, perfectstrong và Mrnhan thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: fibonacci, supermember
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$$\it{2019}= \it{F}_{\,\it{17}}+ \it{F}_{\,\it{14}}+ \it{F}_{\,\it{9}}+$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 01-01-2019 fibonacci, 2 0 1 9, 2019 và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$$\it{y}^{\,\it{2}}= \it{x}^{\,\it{3}}+ \it{20}\,\it{x}$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 18-12-2018 fibonacci, phương trình pell và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Một bài tổ hợp từ một bài số họcBắt đầu bởi Karl Heinrich Marx, 26-03-2017 supermember |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bất đẳng thức với dãy FibonacciBắt đầu bởi Ispectorgadget, 30-11-2014 fibonacci |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh