Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $2S=3F_nF_{n+1}^2-F_n^3-F_{n+1}^3+1$

- - - - - fibonacci supermember

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Cho dãy Fibonacci $\{F_n\}_{(n\ge 0)}$
Bằng cách nào đó bạn hãy chứng minh đẳng thức:
$$2\sum_{k=1}^n F_k^3=3F_nF_{n+1}^2-F_n^3-F_{n+1}^3+1$$
luôn đúng với mọi số nguyên dương $n$ :))

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết
Liều mạng quăng bom :D
Lời giải:
\begin{equation}
2\sum\limits_{k = 1}^n {F_k^3 } = 3F_n F_{n + 1}^2 - F_n^3 - F_{n + 1}^3 + 1
\label{1}\end{equation}
Ta chứng minh \eqref{1} bằng quy nạp.
Với $n=1$
\[
3F_1 F_2^2 - F_1^3 - F_2^3 + 1 = 3.1.1^2 - 1^3 - 1^3 + 1 = 2 = 2F_1^3
\]
Nên \eqref{1} đúng với $n=1$. Giả sử \eqref{1} đúng đến $n$, ta chứng minh \eqref{1} cũng đúng đến $n+1$.
\[
\begin{array}{rcl}
2\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {F_k^3 } &=& 2\sum\limits_{k = 1}^n {F_k^3 } + 2F_{n + 1}^3 \\
&=& 3F_n F_{n + 1}^2 - F_n^3 - F_{n + 1}^3 + 1 + 2F_{n + 1}^3 \\
&=& 3F_{n + 1}^3 + 6F_n F_{n + 1}^2 + 3F_{n + 1} F_n^2 - F_{n + 1}^3 - F_n^3 - 3F_n F_{n + 1}^2 - 3F_n^2 F_{n + 1} - F_{n + 1}^3 + 1 \\
&=& 3F_{n + 1} \left( {F_n + F_{n + 1} } \right)^2 - F_{n + 1}^3 - \left( {F_n + F_{n + 1} } \right)^3 + 1 \\
&=& 3F_{n + 1} F_{n + 2}^2 - F_{n + 1}^3 - F_{n + 2}^3 + 1 \\
\end{array}
\]
Suy ra \eqref{1} đúng đến $n+1$ nên \eqref{1} đúng với mọi $n$. Ta có đpcm :D
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Cho dãy Fibonacci $\{F_n\}_{(n\ge 0)}$
Bằng cách nào đó bạn hãy chứng minh đẳng thức:
$$2\sum_{k=1}^n F_k^3=3F_nF_{n+1}^2-F_n^3-F_{n+1}^3+1$$
luôn đúng với mọi số nguyên dương $n$ :))

Ta có thể rút gọn tổng này lại dưới dạng sau,nhìn có vẻ "đẹp" hơn:
$$2\sum_{k=1}^{n+1}F_{k}^3=F_{3n+2}+1-2F_{n}^3$$
:)
P/s:Mong một lời giải thuần Đại Số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-11-2012 - 18:31

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Ta có thể rút gọn tổng này lại dưới dạng sau,nhìn có vẻ "đẹp" hơn:
$$2\sum_{k=1}^{n+1}F_{k}^3=F_{3n+2}+1-2F_{n}^3$$
:)
P/s:Mong một lời giải thuần Đại Số.

Ok, theo nguyện vọng của dark templar, tôi sẽ giải bài này bằng cách thuần Đại Số
(Quy nạp thì không nói làm gì, bởi thường thì biết được kết quả rồi mới "giả vờ" quy nạp :)) )

Viết lại đẳng thức trên như sau (cho đẹp hơn chút nữa)
$\begin{align}2\sum_{k=1}^n F_k^3=F_{3n-1}+1-2F_{n-1}^3\label{a2}\end{align}$
Xét tổng:
$S=\sum_{k=1}^n F_k^3$
Đặt $\begin{cases}g(k)=F_k^2\\ \Delta f(k)=F_k=F_{k+2}-F_{k+1}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\Delta g(k)=F_{k+1}^2-F_k^2\\ f(k)=F_{k+1}=F_{k}+F_{k-1}\end{cases}$
Áp dụng sai phân từng phần ta có:
$S=F_{k+1}F_k^2\left|\begin{align*}{}^{n+1}\\{}_{k=1}\end{align*}\right.-\sum_{k=1}^n \left((F_{k+1}+F_k)(F_{k+1}^2-F_k^2)\right)$
$S=F_{n+2}F_{n+1}^2-1-\sum_{k=1}^n\left(F_{k+1}^3-F_k^3+F_kF_{k+1}^2-F_k^2F_{k+1}\right)$
$\Rightarrow 3S=-3+3F_{n+2}F_{n+1}^2-\sum_{k=1}^n\left(3F_{k+1}^3-3F_k^3+3F_kF_{k+1}^2-3F_k^2F_{k+1}\right)$
$\Rightarrow 3S=-3+3F_{n+2}F_{n+1}^2-\sum_{k=1}^n\left(4F_{k+1}^3-4F_k^3\right)+\sum_{k=1}^n\left(F_{k+1}-F_k\right)^3$
$\Rightarrow 3S=-3+3F_{n+2}F_{n+1}^2-(4F_{n+1}^3-4)+\sum_{k=1}^nF_{k-1}^3$
$\Rightarrow 3S=1+3F_{n+2}F_{n+1}^2-4F_{n+1}^3+\sum_{k=0}^{n-1}F_k^3$
$\Rightarrow 3S=1+3F_{n+2}F_{n+1}^2-4F_{n+1}^3+(S-F_n^3)$

$\Rightarrow \begin{align}2S=1+3F_{n+2}F_{n+1}^2-4F_{n+1}^3-F_n^3\label{a3}\end{align}$
Đến đây thay giá trị $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ ở vế phải $(\ref{a3})$ ta được bài toán gốc!
Dùng các phép biến đổi các nghiệm của phương trình $X^2=X+1$ (như trong bày này dark templar đã giải thích khá chi tiết)
ta biến đổi được thành $(\ref{a2})$
:P





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: fibonacci, supermember

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh