Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cm $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-11-2012 - 12:28

Cho đa thức $f(z)=1+\frac{z}{4}+\frac{z^2}{4^2}+...+\frac{z^n}{4^n}$. Chứng minh rằng $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $$|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-08-2014 - 21:45

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 24/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 24-09-2014 - 07:18

Cho đa thức $f(z)=1+\frac{z}{4}+\frac{z^2}{4^2}+...+\frac{z^n}{4^n}$. Chứng minh rằng $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $$|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$$

 

Cần phải cho thêm điều kiện $n\in\mathbb{N}^*$. Tức là $n\ge1$.

 

Xét $T=\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|z_1-z_2|}$$=\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|$$=\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1+z_2}{4^2}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|$

$\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|$

 

Mà $\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|=\frac{\left|z_1+z_2\right|}{16}\le\frac{|z_1|+|z_2|}{16}\le\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$

 

Suy ra $T\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\frac{1}{8}$

 

Mặt khác ta lại có : $\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|\ge\frac{1}{4}$

 

Vậy $T\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$. $\boxed{}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 24-09-2014 - 07:20


#4 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 24-09-2014 - 14:26

Cần phải cho thêm điều kiện $n\in\mathbb{N}^*$. Tức là $n\ge1$.
 
Xét $T=\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|z_1-z_2|}$$=\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|$$=\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1+z_2}{4^2}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|$

$\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|$

 
Mà $\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|=\frac{\left|z_1+z_2\right|}{16}\le\frac{|z_1|+|z_2|}{16}\le\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
 
Suy ra $T\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\frac{1}{8}$
 
Mặt khác ta lại có : $\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|\ge\frac{1}{4}$
 
Vậy $T\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$. $\boxed{}$

 
... mình nghĩ hình như đoạn này không ổn lắm thì phải.
 
Với $n=3$ và $z_1=z_2=i$, ta có:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{3}{4^3}\right|=\left|\frac{13}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$
(Hàm $f(z)$ lấy trên $\mathbb{C}$)

_______________________________________________

Chú ý điều kiện $z_1\ne z_2$ và $|z_1| , |z_2| \le 1$

Srr, mình không chú ý ví dụ của mình,... nhưng chỗ đó đâu có suy ra như với số thực như vậy được:

Với $n=3$ và $z_1=i$, $z_2=0$:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 25-09-2014 - 18:43

^^~

#5 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 24-09-2014 - 17:30

 
... mình nghĩ hình như đoạn này không ổn lắm thì phải.
 
Với $n=3$ và $z_1=z_2=i$, ta có:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{3}{4^3}\right|=\left|\frac{13}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$
(Hàm $f(z)$ lấy trên $\mathbb{C}$)

 

Chú ý điều kiện $z_1\ne z_2$ và $|z_1| , |z_2| \le 1$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh