Chủ đề này có 4 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho đa thức $f(z)=1+\frac{z}{4}+\frac{z^2}{4^2}+...+\frac{z^n}{4^n}$. Chứng minh rằng $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $$|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$$

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   cho bài toán này.

Nếu hết ngày 24/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[Kool LL]

Cho đa thức $f(z)=1+\frac{z}{4}+\frac{z^2}{4^2}+...+\frac{z^n}{4^n}$. Chứng minh rằng $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $$|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$$

 

Cần phải cho thêm điều kiện $n\in\mathbb{N}^*$. Tức là $n\ge1$.

 

Xét $T=\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|z_1-z_2|}$$=\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|$$=\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1+z_2}{4^2}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|$

$\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|$

 

Mà $\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|=\frac{\left|z_1+z_2\right|}{16}\le\frac{|z_1|+|z_2|}{16}\le\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$

 

Suy ra $T\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\frac{1}{8}$

 

Mặt khác ta lại có : $\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|\ge\frac{1}{4}$

 

Vậy $T\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$. $\boxed{}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 24-09-2014 - 07:20

[robin997]

Cần phải cho thêm điều kiện $n\in\mathbb{N}^*$. Tức là $n\ge1$.
 
Xét $T=\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|z_1-z_2|}$$=\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|$$=\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1+z_2}{4^2}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|$

$\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|$

 
Mà $\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|=\frac{\left|z_1+z_2\right|}{16}\le\frac{|z_1|+|z_2|}{16}\le\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
 
Suy ra $T\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\frac{1}{8}$
 
Mặt khác ta lại có : $\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|\ge\frac{1}{4}$
 
Vậy $T\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$. $\boxed{}$

 
... mình nghĩ hình như đoạn này không ổn lắm thì phải.
 
Với $n=3$ và $z_1=z_2=i$, ta có:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{3}{4^3}\right|=\left|\frac{13}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$
(Hàm $f(z)$ lấy trên $\mathbb{C}$)

_______________________________________________

Chú ý điều kiện $z_1\ne z_2$ và $|z_1| , |z_2| \le 1$

Srr, mình không chú ý ví dụ của mình,... nhưng chỗ đó đâu có suy ra như với số thực như vậy được:

Với $n=3$ và $z_1=i$, $z_2=0$:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 25-09-2014 - 18:43

[Kool LL]

 
... mình nghĩ hình như đoạn này không ổn lắm thì phải.
 
Với $n=3$ và $z_1=z_2=i$, ta có:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{3}{4^3}\right|=\left|\frac{13}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$
(Hàm $f(z)$ lấy trên $\mathbb{C}$)

 

Chú ý điều kiện $z_1\ne z_2$ và $|z_1| , |z_2| \le 1$