Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-11-2012 - 14:21
Chứng minh $4\sqrt{3}S_{ABC} \le a^2 + b^2 + c^2$
Bắt đầu bởi ilovelife, 19-11-2012 - 14:20
bất đẳng thức tam giác 3 cạnh diện tích
#1
Đã gửi 19-11-2012 - 14:20
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh $\Delta ABC$ hãy chứng minh: $4 \sqrt{3} S_{ABC} \le a^2 + b^2 + c^2$
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#2
Đã gửi 19-11-2012 - 15:18
Áp dụng hệ thức He-rong ta có :
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\Rightarrow 4\sqrt{3}S=4\sqrt{3}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{27}}\sqrt{p(3p-3a)(3p-3b(3p-3c)}=\frac{4}{3}\sqrt{A}$
Áp dụng AM-GM $\Rightarrow \sqrt[4]{A}\leq \frac{10p-3(a+b+c)}{4}= p$
$\Rightarrow \frac{4}{3}\sqrt{A}\leq \frac{4}{3}p^2= \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3}\leq a^2+b^2+c^2$ ?
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\Rightarrow 4\sqrt{3}S=4\sqrt{3}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{27}}\sqrt{p(3p-3a)(3p-3b(3p-3c)}=\frac{4}{3}\sqrt{A}$
Áp dụng AM-GM $\Rightarrow \sqrt[4]{A}\leq \frac{10p-3(a+b+c)}{4}= p$
$\Rightarrow \frac{4}{3}\sqrt{A}\leq \frac{4}{3}p^2= \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3}\leq a^2+b^2+c^2$ ?
#3
Đã gửi 19-11-2012 - 16:31
Đây là hệ quả của bất đẳng thức Finsler - Handwiger, bạn xem thêm ở đây:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh $\Delta ABC$ hãy chứng minh: $4 \sqrt{3} S_{ABC} \le a^2 + b^2 + c^2$
Wetzen.pdf 418.3K 180 Số lần tải
- caybutbixanh yêu thích
Thích ngủ.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, tam giác, 3 cạnh, diện tích
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh