Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x+y)\leq f(x) + f(y)$; $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Xác định hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả các điều kiện sau
1. $f(x+y) \leq f(x) + f(y)$ ,với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.
2. $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-11-2012 - 09:33
Gõ Latex đầy đủ trong bài post.


#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Xác định hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả các điều kiện sau
1. $f(x+y) \leq f(x) + f(y)$ ,với mọi $x,y \in \mathbb{R}(1)$.
2. $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=1(2)$

(1) tương đương với:
$$f(x+y)-f(x) \le f(y) ; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Do đó:
$$f(x)=f(x+y+(-y)) \le f(x+y)+f(-y);\forall x,y \in \mathbb{R}$$
Hay:
$$-f(-y) \le f(x+y)-f(x) \le f(y);\forall x,y \in \mathbb{R}$$
Xét $y \in \mathbb{R^+}$(với trường hợp $y<0$ cũng tương tự) thì ta suy ra:
$$\frac{f(-y)}{-y} \le \frac{f(x+y)-f(x)}{y} \le \frac{f(y)}{y}$$
Do (2) nên:$\lim_{y \to 0^+}\frac{f(-y)}{-y}=\lim_{y \to 0^+}\frac{f(y)}{y}=1$.
Theo nguyên lý kẹp và định nghĩa đạo hàm thì $\lim_{y \to 0^+}\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=1=f'(x)$ với $x>0$.
Như vậy,ta sẽ có:$f'(x)=1;\forall x \in \mathbb{R}$.
Từ đó:$f(x)=x+a(x \in \mathbb{R})$ và $a$ là hằng số.
Theo (2) thì:
$$1=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{x+a}{x}=\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{a}{x} \right)$$
Suy ra:$\lim_{x \to 0}\frac{a}{x}=0 \implies a=0$.
Vậy $f(x)=x;\forall x \in \mathbb{R}$.Thử lại ta thấy thỏa mãn.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết
Lời giải 2:
Bằng quy nạp, ta có: $f(nx) \le nf(x),\forall n \in \mathbb{N}^*$.
Ta có bất đẳng thức sau với $x \ne 0$:
\[
\begin{array}{l}
f\left( {nx} \right) \le nf\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) \le nf\left( {\frac{x}{n}} \right) \\
\Rightarrow \frac{{f\left( {\frac{x}{n}} \right)}}{{\frac{x}{n}}} \ge \frac{{f\left( x \right)}}{x} \ge \frac{{f\left( { - x} \right)}}{{ - x}} \ge \frac{{f\left( {\frac{{ - x}}{n}} \right)}}{{\frac{{ - x}}{n}}} \\
\end{array}
\]
Cho $n \to +\infty$ thì $\dfrac{x}{n} \to 0$, sử dụng giả thiết, ta có:
\[
1 \ge \frac{{f\left( x \right)}}{x} \ge \frac{{f\left( { - x} \right)}}{{ - x}} \ge 1 \Rightarrow f\left( x \right) = x
\]
Thử lại: $f(x+y)=x+y \le f(x)+f(y)$ và $\dfrac{f(x)}{x}=1 \,\, \forall x \ne 0$.
Kết luận: $f(x)=x \quad \forall x$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh