Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tính tổng $\sum_{2012}^{4024}p\left ( n \right )$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-11-2012 - 20:10

Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $p(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng $\sum_{n=2012}^{4024}p\left ( n \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 19-11-2012 - 20:45


#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 20-11-2012 - 16:20

Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $p(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng $\sum_{n=2012}^{4024}p\left ( n \right )$.

Ở đây không biết là ước số lẻ lớn nhất của $n$ khi $n$ lẻ có phải là $n$ không hay là như thế nào?

#3 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-11-2012 - 16:29

Ở đây không biết là ước số lẻ lớn nhất của $n$ khi $n$ lẻ có phải là $n$ không hay là như thế nào?

Không có điều kiện của $n$ đâu nguyenta98 ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 20-11-2012 - 16:30


#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 20-11-2012 - 16:58

Không có điều kiện của $n$ đâu nguyenta98 ạ.

Không ý em là nếu $n$ lẻ thì ước lẻ lớn nhất của $n$ là $n$ ạ?

#5 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-11-2012 - 17:04

Không ý em là nếu $n$ lẻ thì ước lẻ lớn nhất của $n$ là $n$ ạ?

Dĩ nhiên!

#6 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-11-2012 - 17:37

Chuyển hết sang biểu diễn nhị phân là xong! :D (spam một phát!)
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#7 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 20-11-2012 - 17:56

Chuyển hết sang biểu diễn nhị phân là xong! :D (spam một phát!)


Chuyển sao thầy?

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#8 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 20-11-2012 - 20:21

Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $p(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng $\sum_{n=2012}^{4024}p\left ( n \right )$.

Đặt $v(n)$ là số mũ cao nhất của $2$ trong $n$ . Chú ý $v(n)p(n)= n\Rightarrow p(n)= \frac{n}{v(n)}$ là ra !

#9 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-11-2012 - 11:52

Ta có bổ đề sau: (chứng minh cái này không khó, các em có thể nhờ nguyenta98 chứng minh hộ! :P)
$S_n=\sum_{k=1}^n p(k) = \sum_{k=0}^{\lfloor\log_2n\rfloor} \left\lfloor\dfrac{n}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor^2$

$\sum_{k=2012}^{4024} p(k) =\sum_{k=1}^{4024} p(k) - \sum_{k=1}^{2011} p(k)=S_{4024}-S_{2011}$

Ta có:
$S_{4024}=\sum_{k=0}^{11} \left\lfloor\dfrac{4024}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor^2=5397840$

$(=2012^2+1006^2+503^2+252^2+126^2+63^2+31^2+16^2+8^2+4^2+2^2+1^2)$

$S_{2011}=\sum_{k=0}^{10} \left\lfloor\dfrac{2011}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor^2=1349193$

$(=1006^2+503^2+251^2+126^2+63^2+31^2+16^2+8^2+4^2+2^2+1^2)$

Vậy giá trị cần tính là: $4\,048\,647$
_______________________
p/s: Những ai chưa học về logarithm thì cái bổ đề được viết thành:
$S_n=\sum_{k=1}^n p(k) = \sum_{k\ge 0}\left\lfloor\dfrac{n}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor^2$
Tổng lấy thoả mái $k=0,1,2,...$ cho đến khi nào biểu thức phần nguyên bằng $0$ thì thôi!
:))
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#10 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 21:14

Theo yêu cầu của một số bạn, tôi sẽ chứng minh cái bổ đề này:
Bổ đề:
Nếu gọi $p(k)$ là ước số lẻ lớn nhất của số tự nhiên $k$ thì ta có:
$S_n=\sum_{k=1}^np(k)=\sum_{k\ge 0}\left\lfloor\dfrac{n}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor^2$
Chứng minh:
Trước hết ta có điều hiển nhiên sau:
$\begin{cases}p(2k+1)=2k+1\\p(2k)=p(k)\end{cases}$
Và tổng $\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2\quad(1)$
Do đó:
$S_n=\sum_{k=1}^np(k)=\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}p(2k)+\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor}p(2k-1)\quad$(Tách chẵn, lẻ)
$\quad=\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}p(k)+\left\lfloor\dfrac{n+1}{2}\right\rfloor^2\quad$ (Theo $(1)$)
Hay
$S_n=S_{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}+\left\lfloor\dfrac{n+1}{2}\right\rfloor^2\quad(2)$
Tiếp tục áp dụng $(2)$ (thay $n$ bởi $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$)
Ta có:
$S_{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}=S_{\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor}+\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1}{2}\right\rfloor^2$
Hay
$S_{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}=S_{\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor}+\left\lfloor\dfrac{n}{4}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor^2\quad(3)$
Quá trình "chia đôi" trên lặp lại $m$ lần tới khi $\left\lfloor\dfrac{n}{2^m}\right\rfloor=0$ thì kết thúc
Lúc đó ta được $m$ đẳng thức, cộng tất cả lại ta được điều phải chứng minh.
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh