BĐT AM-GM
#61
Đã gửi 12-12-2012 - 19:05
Tim Min:
$\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$
#62
Đã gửi 12-12-2012 - 19:07
Bài này không phải đã có trong topic hở bạn KHÔNG POST BÀI TRÙNG LẶP NHÉcho $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$
Tim Min:
$\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$
#63
Đã gửi 15-12-2012 - 15:53
Mình góp bài nhé
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng
$a^2+b^2+c^2+\dfrac{ab+bc+ac}{a^2b+b^2c+c^2a} \ge 4$
:Ta có:
$$3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+ a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+a^2c$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$$a^3+ab^2\geq 2a^2b$$
Tương tự: $$b^3+bc^2\geq 2b^2c$$
$$c^3+a^2c\geq 2c^2a$$
Suy ra$$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)>0$$
Do đó: $$P\geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c ^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$$
Đặt $t=a^2+b^2+c^2(t\geq 3)$
$P\geq t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Cái này là đề thi tuyển sinh 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An- năm 2009-2010
- HÀ QUỐC ĐẠT, banhgaongonngon, no matter what và 1 người khác yêu thích
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
#64
Đã gửi 15-12-2012 - 16:09
$\oplus$ Ta có:
$\left( {1 - \frac{1}{{a^2 }}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{b^2 }}} \right) = \left( {\frac{{a^2 - 1}}{{a^2 }}} \right)\left( {\frac{{b^2 - 1}}{{b^2 }}} \right) = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}{{a^2 b^2 }} = \frac{{\left( { - b} \right)\left( {a + 1} \right)\left( { - a} \right)\left( {b + 1} \right)}}{{a^2 b^2 }} = \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right)}}{{ab}} = \frac{{ab + a + b + 1}}{{ab}} = 1 + \frac{{a + b + 1}}{{ab}} = 1 + \frac{2}{{ab}}$ $(1)$
$\oplus$ Ta có:$(a-b)^2 \geqslant 0$
$\Longleftrightarrow$ $(a+b)^2 \geqslant 4ab$
$\Longleftrightarrow$ $1 \geqslant 4ab$
$\Longleftrightarrow$ $\frac{1}{ab} \geqslant 4$ $(*)$
$\oplus$ Áp dụng $(1)$ vào $(*)$, ta được:
$BĐT \geqslant 1+8 = 9$
$Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienanh1999bp: 22-12-2012 - 17:06
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
#65
Đã gửi 15-12-2012 - 18:59
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=38885:Ta có:
$$3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+ a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+a^2c$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$$a^3+ab^2\geq 2a^2b$$
Tương tự: $$b^3+bc^2\geq 2b^2c$$
$$c^3+a^2c\geq 2c^2a$$
Suy ra$$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)>0$$
Do đó: $$P\geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c ^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$$
Đặt $t=a^2+b^2+c^2(t\geq 3)$
$P\geq t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Cái này là đề thi tuyển sinh 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An- năm 2009-2010
Cho bạn một cách giải bất đẳng thức này cũng hay.Hôm nay sinh nhật của anh Ispectorgadget luôn đấy
- Dung Dang Do yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#66
Đã gửi 15-12-2012 - 20:58
Bài 41 :Chứng minh với mọi a,b,c dương có tổng bằng 1 ,ta có các BĐT sau
a,$(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)\geq 64$
b,$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)\geq 8$
Bài 42:Chứng minh với mọi a,b,c dương có tích bằng 1,ta có BĐT sau
$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$
Bài 43:Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Bài 44:Chứng minh với mọi a,b,c dương
$a+b+c\geq \frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}$
Bài 45:Chứng minh với mọi a,b, lớn hơn 1
$\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\geq 8$
Bài 46:Chứng minh với mọi a,b,c dương có tích bằng 1
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$
Bài 47:Chứng minh với mọi a,b,c dương
$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
Bài 48:Chứng minh với mọi a,b,c không âm ta có các BĐT sau
a,$a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 2(ab+bc+ca)$
b,$a^2+b^2+c^2++2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Bài 49:Chứng mnih với mọi a,b,c không âm
$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq abc+\frac{3}{4}\left [ (a-b)(b-c)(c-a) \right ]$
Bài 50:Chứng minh với mọi a,b,c dương có tổng bằng 1
$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{2}{1+a}+\frac{2}{1+b}+\frac{2}{1+c}$
Bài 51:Chứng minh với mọi a,b,c dương
$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^2}{(b+c)(c+a)}+\frac{c^2}{(c+a)(a+b)}\geq \frac{3}{4}$
Bài 52:Chứng minh với mọi a,b,c dương có tổng bằng 1
$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$
Bài 53:Chứng minh với mọi a,b,c dương
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Bài 54:Chứng mnih với mọi a,b,c dương có tổng bằng 1\
$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 30$
Bài 55:Chứng mnih với mọi a,b dương thỏa mãn $a> b$,Các BĐT sau đúng
a,$a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3$
b,$a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3$
c,$a+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq 2\sqrt{2}$
Updating...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 21-12-2012 - 21:04
- banhgaongonngon, Oral1020 và Tienanh tx thích
#67
Đã gửi 15-12-2012 - 21:12
Ta có:
$$1+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a+1}{a}$$
Vì $a+b+c=1$,ta có:
$$1+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a+a+b+c}{a} \ge \dfrac{4\sqrt[4]{a^2bc}}{a}$$
Từ đó tương tự với $1+\dfrac{1}{b}$ và $1+\dfrac{1}{c}$Nhân các BDT vừa tìm được ta có điều phải chứng minh.
b)
Ta có
$$\dfrac{1}{a}-1=\dfrac{b+c}{a}$$
Vậy $\prod (\dfrac{1}{a}-1)=\prod \dfrac{b+c}{a}$
Vì $\prod b+c \ge 8abc$
$\Longrightarrow VT \ge 8$ dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-12-2012 - 23:45
- Dung Dang Do, banhgaongonngon và no matter what thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#68
Đã gửi 15-12-2012 - 21:21
Ta có:
$\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x+y-2}$ $Cauchy-Schwarz$(Phải vận dụng thôi anh ơi)
$=\dfrac{(x+y)^2-4+4}{x+y-2}=x+y+2+\dfrac{4}{x+y-2}=x+y-2+\dfrac{4}{x+y-2}+4$
Áp dụng bdt $AM-GM$ thì ta có dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-12-2012 - 21:22
- Dung Dang Do, banhgaongonngon và no matter what thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#69
Đã gửi 15-12-2012 - 21:24
Cho phépBài 45:
Ta có:
$\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x+y-2}$ $Cauchy-Schwarz$(Phải vận dụng thôi anh ơi)
$=\dfrac{(x+y)^2-4+4}{x+y-2}=x+y+2+\dfrac{4}{x+y-2}=x+y-2+\dfrac{4}{x+y-2}+4$
Áp dụng bdt $AM-GM$ thì ta có dpcm
#70
Đã gửi 15-12-2012 - 21:26
a, $a+\frac{1}{b(a-b)} = (a-b)+b + \frac{1}{b(a-b)} \geqslant 3$ (AM-GM 3 số)
- no matter what yêu thích
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
#71
Đã gửi 15-12-2012 - 21:31
Lỗi LAtex bạn ơi,sửa lại nhé lời giải đúngBài 55:
a, $a+\frac{1}{b(a-b)} = (a-b)+b + \frac{1}{b(a-b)} \geqslant 3$ (AM-GM 3 số)
#72
Đã gửi 15-12-2012 - 21:35
Ta áp dụng bất đẳng thức sau:
$\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{4y} \ge \dfrac{1}{x+y}$(Không dám chứng minh lại đâu) (C-S)
Vậy,ta có:
$\sum \dfrac{4a}{b+c} \le \sum [\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}]$
Hỏi ngoài một chút xíu
Anh quang lấy tài liệu đâu nhiều vậy?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-12-2012 - 21:39
- Dung Dang Do, banhgaongonngon và no matter what thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#73
Đã gửi 15-12-2012 - 21:41
Search trên google thô,nhiều lắm em ạ ,i/có cả những tài liệu anh còn chưa đọc đến lần nào nữa màHỏi ngoài một chút xíu
Anh quang lấy tài liệu đâu nhiều vậy?
#74
Đã gửi 16-12-2012 - 09:25
Áp dụng bdt $AM-GM$ cho 3 số:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{bc}}$
Tương tự,ta có
$3VT \ge \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$
$\Longrightarrow VT \ge \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=a+b+c$(dpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 16-12-2012 - 09:31
- banhgaongonngon và no matter what thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#75
Đã gửi 16-12-2012 - 16:51
#76
Đã gửi 16-12-2012 - 18:41
Ta có:
$$\sqrt[3]{1+b-c}=\sqrt[3]{(1+b-c).1.1}$$
$$\Longrightarrow \sqrt[3]{1+b-c} \le \dfrac{1+b-c+1+1}{3}=\dfrac{b-c}{3}+1$$
$$\Longleftrightarrow a\sqrt[3]{1+b-c} \le \dfrac{a(b-c)}{3}+a$$
Thiếp lập các BDT tương tự,cộng lại ta có:
$$VT \le a+b+c +\dfrac{ab+bc+ac-ab-bc-ac}{3}=1$$(dpcm)
- banhgaongonngon và no matter what thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#77
Đã gửi 16-12-2012 - 18:48
Đặt $\dfrac{a}{b}=x$ $\dfrac{b}{c}=y$ $\dfrac{c}{a}=z$ khi đó $xyz=1$
Điều cần phải chứng minh tương đương với:
$$x^2+y^2+z^2 \ge x+y+z$$
Mà $x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$
Vậy ta sẽ chứng minh:
$$\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \ge x+y+z$$
$x+y+z \ge 3$(đúng với $AM-GM$ cho 3 số )
Vậy bdt đã được chứng minh
- banhgaongonngon và no matter what thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#78
Đã gửi 16-12-2012 - 19:02
Sau khi đổ mồ hôi,sôi con mắt thì ta có dpcm tương dương với
$$ab+bc+ac+a+b+c \ge 3(abc+1)=6$$
Ta lại có
$ab=\dfrac{1}{c}$ $bc =\dfrac{1}{a}$ $c=\dfrac{1}{ab}$
$$\Longrightarrow \sum \dfrac{1}{a}+\sum a \ge 6$$(đúng với AM-GM cho 6 số)
Vậy bdt đã được chứng minh
- Dung Dang Do, banhgaongonngon, caybutbixanh và 1 người khác yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#79
Đã gửi 16-12-2012 - 20:08
$$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}$$
$$=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}$$
$$\ge \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{23}{(a+b+c)^2}=30$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 16-12-2012 - 20:10
- banhgaongonngon và no matter what thích
#80
Đã gửi 16-12-2012 - 20:47
Bài 56: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$
Bài 57:$(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z})\geq \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$
Bài 58:$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}$
Bài 59:$(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)$
Bài 60:$\frac{b^3+c^3}{a}+\frac{c^3+a^3}{b}+\frac{a^3+b^3}{c}\geq 2(ab+bc+ca)$
Bài 61:$a^4+b^4+c^4\geq (\frac{a+2b}{3}^4)+(\frac{b+2c}{3})^4+(\frac{c+2a}{3})^4$
Bài 62:$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\geq 2(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}})$
Bài 63:$9(a^4+b^4+c^4)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+2b)^3+(b+2c)^3+(c+2a)^3$
Bài 64:$\sqrt{a+3b}+\sqrt{a+3c}+\sqrt{2a+b+c}\geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$
Bài 65:$\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4(a+b)}{a|+c}\geq 9$
Bài 66:$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{3}{\sqrt{b}}+\frac{8}{\sqrt{3c+2a}}\geq \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3(a+b+c)}}$
Bài 66:$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$
Bài 67:$\frac{2a}{1+a}+\frac{bc}{b+c}\leq \frac{(2+b)(c+2a)}{2+b+c+2a}$
Bài 68 $(a+b+c+d=1) $ $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})\geq 5^4$
Bài 69 $(ab+bc+ca=3)$ $\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}$
Bài 70 $(a+b+c+d=1)$ $\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}\leq 4\sqrt{2}$
Updating...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 19-12-2012 - 19:37
- N H Tu prince, banhgaongonngon, Kwon Simonster và 2 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh