Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

BĐT AM-GM


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 335 trả lời

#41 Waiting for you

Waiting for you

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Đã gửi 28-11-2012 - 21:04

Mình xin đóng góp vài bài:
1) Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng
$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b}+\frac{b+c}{a})$
2)Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng
$\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
3)Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$chứng minh rằng
$abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 3$
4)Cho $a,b,c,d>0$ chứng minh rằng

$\frac{a-b}{b-c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0$

P/s: lời giải post sau ^^

Bài 1 hình như ta dùng đánh giá sau
Theo AM-GM thì $\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ca}{b^2}\geq 3\frac{a+b}{c}$
Xây dựng các BĐT tương tự
Bài 2:Tách mỗi hạng tử vế trái thành 2 và sử dụng đánh giá
$\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a}$
Bài 3:Có $abc(a^2+b^2+c^2)= \frac{1}{3}abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{9}(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)$
Theo AM-GM tiếp thì $(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)=(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{27}(a+b+c)^3=27$
đây đã là dpcm
Bài 4:hình như là 1 BĐT của vasile?

#42 no matter what

no matter what

    Why not me

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-11-2012 - 16:34

Xin lỗi các bạn mình để topic chững lại vài ngày,cảm phiền các bạn vì điều này :(
Kĩ thuật ghép đối xứng (đây cũng là phương pháp mình thích nhất)
Ta sẽ đến với 1 kĩ thuật nữa (mình nghĩ các bạn cũng sẽ thích phương pháp này).Nếu các bạn quan sát kĩ những bài toán đã nêu(và được giải quyết) thì sẽ thấy hầu hết các bài toán đề có dạng $A+B+C\geq D$ (Với $D$ là mọt biểu thức cùng các biến với A,B,C hoặc D là 1 số).Tuy nhiên,kĩ thuật sau sẽ giúp các bạn giải quyết dạng bài $A+B+C\geq X+Y+Z$ hoặc $ABC\geq XYZ$
+,Dạng 1:Chứng minh $X+Y+Z\geq A+B+C$
Ý tưởng :Ta sẽ chứng minh $X+Y\geq 2A$ Và xây dựng các BĐT tương tự(tuy nhiên ,trong 1 số trường hợp ta có thể chứng minh thẳng $X\geq A$
Tổng quát hơn,ta sẽ chứng minh
$mX+nY+pZ\geq (m+n+p)A$ và xây dựng các BĐT tương tự
+,Dạng 2 :Chứng minh $XYZ\geq ABC$
Ý tưởng vẫn là chứng minh $XY\geq A^2$ và xây dựng các BĐT tương tự
Bài toán định hình
Chứng minh với mọi a,b,c dương,ta có BĐT sau
$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a+b+c$
Giải: Đậy là bài toán dạng mẫu mực nhất của kĩ thuật ta nói tới với $X= \frac{ab}{c},Y=\frac{bc}{a},Z=\frac{ab}{c},A=a,B=b,C=c$
Vậy chắc không cần nói nhiều mọ người đã định hình ra cách chứng minh rồi nhỉ
Theo AM-GM ta có $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2c$
Các BĐT còn lại được xây dựng hoàn toàn tương tự
BĐT được chứng minh
* Không nên cái gì cũng nhất nhất rập khuôn:đó là điều mình muốn khuyên các bạn,
Ta sẽ đến với VD sau
Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có BĐT sau
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}$
Giải:"Nó đâu khác gì bài trên,chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}\geq \frac{2}{2a+b+c}$ là xong"
Phải chăng bạn đang nghĩ vậy,không sai,nếu theo phương pháp bạn sẽ chứng minh vậy,tuy nhiên,bạn hãy thử chứng mnih xem :lol:
Bài toán buộc ta có 1 cách nghĩ khác hơn
ta đi tới biến tướng tiêu chuẩn chứng minh thành
Để chứng minh $X+Y+Z\geq A+B+C$,ta có thể chứng minh $X+A\geq 2Y$ và xây dựng các BĐT tương tự
ta sẽ vận dụng cách nghĩ trên vào bài toán này
Thật vậy,ta chỉ cần chứng mnih $\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\geq \frac{2}{a+b+2c}$ là đủ
Tuy nhiên theo 1 hệ quả quen thuộc của BĐT MA-GM dạng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$,ta dễ dàng CM được BĐT trên
VD3,chứng mnih với mọi a,b,c dương có ab+bc+ca>0,ta có BĐT
$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq (a+b)(c+b)(a+c)$
Giải:Theo tiêu chuẩn,ta chỉ cần chứng minh
$(1+a^2)(1+b^2)\geq (a+b)^2$
chứng minh bài nyà hoàn toàn là biến đổi tương đương(hoặc C-S),xin dành các bạn :lol:
*Đưa về dạng chính tắc
Xét bài toán sau
Cứng minh với mọi a,b,c thực dương có tổng bằng 3,ta có BĐT sau
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$
Giải:Bài này mình đã trình bày cách giải,giờ xin viết lại
Để ý rằng bài toán không nằm trong bất kì dạng nào đã xét,việc ta cần làm là đưa nó về dạng ta đã có phươg pháp
Giờ,Áp dụng trực tiếp AM-GM cho 3 số ta cần chứng minh
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$ (với điều kiện a,b,c dương có tổng bằng 3)
Chú ý rằng theo AM-GM ta có
$(c+ab)(a+bc)\leq \frac{(c+ab+a+bc)^2}{4}=\frac{\left [ b(c+a)+(c+a) \right ]^2}{4}= \frac{(b+1)^2(c+a)^2}{4}$
Xây dựng các BĐT tương tự,ta chỉ cần chứng minh
$(a+b)(b+c)(c+A)\geq (\frac{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}{8})$
Hay $(a+1)(b+1)(c+1)\leq 8$
Với a+b+c=3,BĐT này không khó chứng minh
*Đưa về dạng chính tắc :icon6: chưa đủ :(
Xét VD sau:Chứng minh với mọi số dương a,b,c ta có
$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^3+abc}}+\frac{b+c}{\sqrt[3]{b^3+abc}}+\frac{c+a}{\sqrt[3]{c^3+abc}}\geq 3\sqrt[3]{4}$
Giải: Tư tưởng để chứng minh BĐT này hoàn toàn không có gì khác so với VD trước
Ta sẽ đưa về dạng chính tắc,bằng cách áp dụng trực tiếp AM-GM cho 3 số,khi đó,ta phải chứng minh BĐT mạnh hơn sau
$(a+b)^3(b+c)^3(c+a)^3\geq 64abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)$
Đến đây,ta bắt đầu thấy bối rối("VT toàn biểu thức bậc lẻ(3) thì ghép đối xứng thế quái nào được"),không sai,vậy thì đơn giản,ta sẽ đưa nó về bậc chẵn là ok đúng không(dĩ nhiên là bậc 4)
BĐT tương đương với $(a+b)^4(b+c)^4(c+a)^4\geq 64abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)(a+b)(b+c)(c+a)$
Để chấm dứt hành trình gian nan,ta chỉ cần chứng minh
$(a+b)^2(b+c)^2\geq 4a(b+c)(a^2+bc)$
TUY nhiên,theo AM-GM, BĐT trên đúng
$(a+b)^2(b+c)^2=\left [ (a+b)(b+c) \right ]^2=\left [ (a^2+bc)+a(b+c) \right ]^2\geq 4a(b+c)(a^2+bc)$
Để kết thúc phần nho nhỏ này,mình xin đưa ra 1 số bài tập
1,Chưgs mnih với mọi a,b,c thực dương
$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$
2, Chứng minh với mọi a,b,c dương ,ta có BĐT sau
$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$
3,Chứng minh với mộ a,b,c thực dương,ta có BĐT sau
$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$
4,Chứng minh với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác,ta có
$((2a^2+bc)(2b^2+ca)(2c^2+ab)\geq (2a^2+2b^2-c^2)(2b^2+2c^2-a^2)(2c^2+2a^2-b^2)$
P/s:Hầu hết kiến thức và bài tập phần này mình lấy trong sách"Sử dụng ppAM-GM đẻ chứng minh BĐT"của anh Võ Quốc Bá Cẩn(vì sách có bản scan trên mạng nên mình nghĩ cũng không vi phạm bản quyền gì ở đây :(
Rất xin lỗi đã để topic chững lại :wacko:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 30-11-2012 - 16:36


#43 no matter what

no matter what

    Why not me

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-12-2012 - 13:31

Kĩ thuật đau lòng :Kĩ thuật tham số phụ(hay điểm rơi hay cái chi chi đó)

Phần này mình HOÀN TOÀN KHÔNG BIẾT 1 TÍ NÀO CẢ,cảm phiền mọi người search trên google vậy,xất xin lỗi vì sự cố đáng tiếc này :angry:

Nói chung là mình đã trình bày sơ qua rồi,nhân đây mình cũng xin tập hợp các bài chưa được giải trong topic đồng thời đưa thêm 1 số khác cho mọi người thoải mái chém

1,chứng minh với mọi số thực dương a,b,c có tích bằng 1 thì

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+6\geq 2(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
2,Chứng minh với mọi a,b,c không âm có tích bằng 1
$\frac{a}{b^2(c+1)}+\frac{b}{c^2(a+1)}+\frac{c}{a^2(b+1)}\geq \frac{3}{2}$

3,Chứng minh với mọi a,b,c có $0< a,b,c\leq \frac{1}{3},a^3+b^3+c^3=\frac{3}{64}$ thì
$\frac{1}{1-3a}+\frac{1}{1-3b}+\frac{1}{1-3c}\geq 12$

4,Chứng minh với mọi số dương a,b,c có tích bằng 1
$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\leq \frac{1}{2}$

5,Với mọi x,y,z có $x+2y+3z=\frac{1}{4}$,tìm MAX
$\frac{232y^3-x^3}{2xy+24y^2}+\frac{783z^3-8y^3}{6yz+54z^2}+\frac{29x^3-27z^3}{3xz+6x^2}$

6,Chứng minh với mọi a,b,c không âm
$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

7,Chứng minh với mọi số dương a,b,c có tích bằng 1
$\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\geq \frac{3}{2}$
8,Chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3
$\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\leq \frac{3}{4}$

9, Chứng minh với mọi a,b,c dương có $ab+bc+ca=3$
$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

10,Chứng minh với mọi x,y,z $> -1$,ta có
$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$

11,,Chưgs mnih với mọi a,b,c thực dương
$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$

12, Chứng minh với mọi a,b,c dương ,ta có BĐT sau
$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$
13,Chứng minh với mộ a,b,c thực dương,ta có BĐT sau
$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

14,Chứng minh với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác,ta có
$((2a^2+bc)(2b^2+ca)(2c^2+ab)\geq (2a^2+2b^2-c^2)(2b^2+2c^2-a^2)(2c^2+2a^2-b^2)$

15,Chứng minh với mọi a,b,c dương có tổng bằng 3 ta có BĐT sau
$\frac{a^2+bc}{b+ca}+\frac{b^2+ca}{c+ab}+\frac{c^2+ab}{a+bc}\geq 3$

16,Chứng minh với mọi x,y,z dương ta có
$(\frac{x}{y}+\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}})^2+(\frac{y}{z}+\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}})^2+(\frac{z}{x}+\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}})^2\geq 12$

17,Chứng minh với mọi x,y,zdương có tổng bằng 3 ta có\
$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\leq 1$

18,Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
$\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)^3}$

19,Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
$\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ca}+\frac{c^2}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2\sqrt[3]{abc}}$
20,Chứng minh với mọi a,b,c dương có tích bằng 1
$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

21,Chứng minh với mọi a,b,c dương có tích bằng 8 ta có
$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+c^3)}\geq \frac{4}{3}}$
22,Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
$3\sqrt[9]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^2}}+\sqrt[3]{\frac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}}\leq 4$
23,Chứng mi9nh với mọi a,b,c dương có tổng bình phương bằng 1
$a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt{3}$
24,Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
$\frac{a(b+c)^2}{2a+b+c}+\frac{b(c+a)^2}{2b+c+a}+\frac{c(a+b)^2}{2c+a+b}\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}$
25,Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
$a^3+b^3+c^3\geq 2abc+\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$
Updating....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 08-01-2013 - 19:10


#44 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 04-12-2012 - 09:54

Câu: 6 $$[\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}]^2\leq [\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}]^2\leq [\frac{(ab+bc+ca)}{3}]^3$$
NGU
Hình đã gửi

#45 no matter what

no matter what

    Why not me

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-12-2012 - 19:03

26,Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
$\sqrt{ab(a+b)}+\sqrt{bc(b+c)}+\sqrt{ca(c+a)}\geq \sqrt{4abc+(a+b)(b+c)(c+a)}$
27,Chứng minh với mọi a,b,c dương có $ab+bc+ca=1$,ta có
$\frac{ab+1}{a+b}+\frac{bc+1}{b+c}+\frac{ca+1}{c+a}\geq 3$
28,Chứng minh với mọi a,b,c dương có tổng bằng 1 ta có
$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

29,Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có BĐT sau
$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\geq \frac{a+b+c+d}{abcd}$

30,Chứng minh với mọi a,b,c dương
$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
31,Chứng minh với mọi a,b,c dương
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{c+b}+\frac{b+c}{b+a}+1$

32,Cứng mnih với mọi a,b,c dương
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4a}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{4b}{2b^2+c^2+a^2}+\frac{4c}{2c^2+a^2+b^2}$
33,Chứng minh với mọi a,c,b dương có ab+bc+ca=1
$\frac{1}{abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{9\sqrt{3}}{2}$
34,Chứng minh với mọi a,b,c có tổng bình phương bằng 1
$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}\geq 3(ab+bc+ca)-2$

34,Chứng minh với mọi a,b có tổng bằng 1
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$
35,Chứng minh với mọi a,b,c có tổng bằng 1
$\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

36,Chứng minh với mọi a,b,c dương có ab+bc+ca=1
$3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}+6(a+b+c)}\leq \frac{\sqrt[3]{3}}{abc}$
37,Chứng mnih với mọi a,b,c dương
$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$

38,Chứng minh với mọi a,b,c,d dương có tổng nghịch đảo bằng 4
$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}}\leq 2(a+b+c+d)-4$
39,Chứng minh với mọi a,b,c dương thỏa mãn$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c$,ta có
$a+b+c\geq 3abc$

40,Chứng minh với mọi a,b,c dương
$\frac{a+b+c}{3}\leq \frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{\left [ (a+b)(b+c)(c+a) ^2\right ]}{abc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 19-12-2012 - 19:41


#46 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 05-12-2012 - 09:02

bài 2: đặt $$a = \frac{x}{y};b = \frac{y}{z};c = \frac{z}{x}$$ => x.y.z=1
bât dẳng thức trở thành :
$$\sum \frac{(xy)^2}{y^3(z+x)} = \sum \frac{(xy)^4}{yz+xy}\geq \frac{((xy)^2+(zy)^2+(xz)^2)^2}{2(xy+zy+zx)}\geq \frac{(xy+zy+zx)^4}{18(xy+zy+zx)}\geq \frac{3}{2}$$
bài 4: áp dụng bdt cơ bản sau:
nếu xyz=1 thì: $$\sum \frac{1}{2+x}\leq 1$$
$$\sum \frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\leq \sum \frac{1}{(a^3+2)+(a^3+b^3+c^3)}\leq \sum \frac{1}{4}[\frac{1}{a^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+c^3}]\leq \frac{1}{2}$$
bài 7) $$\sum \frac{bc}{a^2b+a^2c}=\sum \frac{b^2c^2}{ab+ac}\geq \frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{3}{2}$$
bài 8) $$\sum \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \sum \frac{ab}{4}[\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}]=\frac{3}{4}$$
bài9)từ đk suy ra abc<=1
$$\sum \frac{1}{1+a(ab+ab)}=\sum \frac{1}{1+a(3-bc)}=\sum \frac{1}{3a+1-abc}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{1}{abc}$$
NGU
Hình đã gửi

#47 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 06-12-2012 - 09:14

duong vi tuan:cảm ơn bạn đã ủng hộ topic:các lời giải trên vẫn còn nặng C-S quá :icon6: ,đây là topic AM-GM mà :closedeyes:

hihi mình quên mất :wacko: .
12)sử dụng bất đẳng thức : $$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\leq \frac{a^2+b^2}{a+b}$$
bất đẳng thức chưng minh tương đương $$\prod (a^2+bc)(b+c)\geq 8abc\prod (a^2+b^2)$$
ta có:$$(a^2+bc)(b+c)=b(a^2+c^2)+c(a^2+c^2))\geq 2\sqrt{bc(a^2+b^2)(a^2+c^2)}$$ => đpcm.
13) $$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)=(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)(a+b)(b+c)(c+a)}$$
ta chưng minh:$$(1+a)(1+b)(1+c)(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(a+bc)(b+ca)(c+ab)$$
ta có:$$(1+a)(b+c)=(b+ac)+(c+ab)\geq 2\sqrt{(b+ac)(c+ab)}$$ => ra điều phải cm.
bài 17:)$$\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \sum \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\sum \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$$
bài 18 hình như sai đề hay sao í ??? . bất đẳng thức ko đồng bậc nhưng cung ko có điều kiện gì luôn . :wacko:
NGU
Hình đã gửi

#48 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 06-12-2012 - 13:56

Bài 39:
$\oplus$Ta có $\sum \dfrac{1}{a} \ge \sum a$
$\Longleftrightarrow \sum ab \ge (a+b+c)abc$
$\oplus$Ta luôn có $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$(Cái này quen thuộc rồi khỏi cần c/m lại nhé)
$\oplus$Từ $\sum ab \ge (a+b+c)abc$
$\Longrightarrow 3(ab+bc+ac) \ge (a+b+c)3abc$
$\oplus$Như vậy $(a+b+c)^2 \ge (a+b+c)3abc$
$\oplus$Nhân cả hai vế của bât đẳng thức cho $\dfrac{1}{a+b+c}$.ta có
$$a+b+c \ge 3abc$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-12-2012 - 13:58

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#49 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 07-12-2012 - 09:31

bài đó đúng đề đấy ,hj, và nó thực sự không đễ(với mình)

Cho a=b=c =1 hết đi thì ta sẽ có 1>=3 vô lí :wacko: . Bài này khá giống với 1 bài tập trong cuốn sách AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 07-12-2012 - 09:31

NGU
Hình đã gửi

#50 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 08-12-2012 - 12:55

Bài 35:
$\oplus$Ta có:
$\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a+bc-2bc}{a+bc}=1-\frac{2bc}{a+bc}$
$\Longrightarrow VT=3-(\frac{2bc}{a+bc}+\frac{2ac}{b+ac}+\frac{2ab}{c+ab}) \le \dfrac{3}{2}$
$\Longleftrightarrow \frac{2bc}{a+bc}+\frac{2ac}{b+ac}+\frac{2ab}{c+ab} \ge \dfrac{3}{2}$
$\Longleftrightarrow \frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}+\frac{ab}{c+ab} \ge \dfrac{3}{4}$
$\oplus$ Vì $a+b+c=1$ nên $a+bc=a(a+b+c)+bc=a^2+ab+ac+bc=a(a+c)+b(a+c)=(a+b)(a+c)$
$\oplus$Tương tự,ta có:
$\dfrac{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)}{(a+b)(a+c)(b+c)} \ge \frac{3}{4}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)}{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)+2abc} \ge \frac{3}{4}$
$\oplus$Nhân chéo tử và mãu,ta được:
$4[bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)] \ge 3[bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)+2abc]$
$\Longleftrightarrow bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b) \ge 6abc$
$\Longleftrightarrow a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a \ge 6abc$
$\oplus$Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho vế trái,ta được:
$a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a \ge 6abc$ đúng
$\Longrightarrow \frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 08-12-2012 - 12:58

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#51 no matter what

no matter what

    Why not me

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-12-2012 - 19:08

Bài 35:
$\oplus$Ta có:
$\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a+bc-2bc}{a+bc}=1-\frac{2bc}{a+bc}$
$\Longrightarrow VT=3-(\frac{2bc}{a+bc}+\frac{2ac}{b+ac}+\frac{2ab}{c+ab}) \le \dfrac{3}{2}$
$\Longleftrightarrow \frac{2bc}{a+bc}+\frac{2ac}{b+ac}+\frac{2ab}{c+ab} \ge \dfrac{3}{2}$
$\Longleftrightarrow \frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}+\frac{ab}{c+ab} \ge \dfrac{3}{4}$
$\oplus$ Vì $a+b+c=1$ nên $a+bc=a(a+b+c)+bc=a^2+ab+ac+bc=a(a+c)+b(a+c)=(a+b)(a+c)$
$\oplus$Tương tự,ta có:
$\dfrac{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)}{(a+b)(a+c)(b+c)} \ge \frac{3}{4}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)}{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)+2abc} \ge \frac{3}{4}$
$\oplus$Nhân chéo tử và mãu,ta được:
$4[bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)] \ge 3[bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)+2abc]$
$\Longleftrightarrow bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b) \ge 6abc$
$\Longleftrightarrow a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a \ge 6abc$
$\oplus$Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho vế trái,ta được:
$a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a \ge 6abc$ đúng
$\Longrightarrow \frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

:icon6:
Em có thể chú ý đến 2 hằng đẳng thức sau đây,nó sẽ giúp em giảm đi khoảng 1/3 lời giải đấy :wub:
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)= (a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$
và $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
Để cho lời giải được ngắn gọn ,ta cũng có thể đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$(cái này hình như anh đã nói qua rồi thì phải :( )
thân

#52 Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường trung học cơ sở Bạch Liêu

Đã gửi 08-12-2012 - 21:12

Cho x,y,z la cac so thuc duong thoa man: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$

Tim min : $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tho The Cuong: 08-12-2012 - 22:17


#53 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 08-12-2012 - 21:34

Cho x,y,z la cac so thuc duong thoa man: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$

Chung minh: $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Vế phải là gì vậy? :ohmy:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 08-12-2012 - 21:35


#54 Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường trung học cơ sở Bạch Liêu

Đã gửi 08-12-2012 - 22:22

cho cac so thuc duong x,y,z thoa man: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$
Tim Min:
$\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tho The Cuong: 12-12-2012 - 18:59


#55 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 10-12-2012 - 09:39

18) đặt ẩn : $$(a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})$$
bất đẳng thức cần chưng minh trương đương :
$$\frac{a^2b^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2c^2}{(b+c)^2} + \frac{c^2a^2}{(c+a)^2}\geq \frac{3}{4}\frac{\sqrt{3(ab+ca+cb)}(ab+ca+bc)^2}{(a+b+c)^3} $$
ta có : $$\frac{a^2b^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2c^2}{(b+c)^2} + \frac{c^2a^2}{(c+a)^2}\geq \frac{(ab+ca+bc)^2}{2(\sum a^2+\sum ab)}$$
do đó ta chỉ cần cm : $$(a+b+c)^3\geq \frac{3}{2}\sqrt{3(ab+ca+bc)}(\sum a^2+\sum ab)$$
áp dụng AM -Gm : $$\frac{3}{2}\sqrt{3(ab+ca+bc)}(\sum a^2+\sum ab) = \sqrt{3(ab+ca+bc)\frac{3(\sum a^2+\sum ab)}{2}\frac{3(\sum a^2+\sum ab)}{2}}\leq (a+b+c)^3$$
NGU
Hình đã gửi

#56 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 11-12-2012 - 12:30

Bài 37:
$Solution:$
$\oplus$Ta có:
$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)} \ge \frac{3}{1+abc}$
$\Longleftrightarrow \sum [\frac{1}{a(b+1)}-\frac{1}{1+abc}] \ge 0$
$\Longleftrightarrow \sum [\dfrac{a(bc-1)-(ab-1)}{a(b+1)(abc+1)}] \ge 0$
$\Longleftrightarrow \sum [\frac{ab-1}{abc+1}(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a(b+1)})] \ge 0$
$\Longleftrightarrow \sum \dfrac{(ab-1)^2}{a(a+1)(b+1)(abc+1)} \ge 0$ Luôn đúng
$\Longrightarrow \frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)} \ge \frac{3}{1+abc}$
$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ $\blacksquare$
$$Q.e.D$$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#57 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 11-12-2012 - 12:40

Bài 30:
$Solution$
$\oplus$Vì vai trò của $a,b,c$ là như nhau,nên giả sử $a \le b \le c$
$\Longrightarrow a+b \ge a+a=2a$
$\Longleftrightarrow \frac{a}{a+b} \le \frac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow \sqrt{\frac{a}{a+b}} \le \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\oplus$Thiết lập các bất đẳng thức tương tự,ta được:
$\sum \sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \le \frac{3}{\sqrt{2}}$
$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$$\blacksquare$
$$Q.e.D$$
___________
Bài của em dạo này màu mè phết nhỉ :D

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#58 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 11-12-2012 - 12:52

Bài 31:
$Solution$
$\oplus$Ta có:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b} +1$
$\Longleftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} +1 \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b} +1+1$
$\Longleftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} +1 \ge \dfrac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$
$\Longleftrightarrow \frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}+\frac{b^2}{b^2} \ge \frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$
$\oplus$Tới đây,ta áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ cho về trái,ta được:
$\Longleftrightarrow \frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}+\frac{b^2}{b^2} \ge \frac{(a+2b+c)^2}{ab+bc+ca+b^2}=\frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$
$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ $\blacksquare$
$$Q.e.D$$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#59 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 11-12-2012 - 18:44

Bài 29:
$Solution:$
$\oplus$Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ,ta có:
$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3} \ge \frac{3}{abc}$(1)
$\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3} \ge \frac{3}{bcd}$(2)
$\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}+\frac{1}{a^3} \ge \frac{3}{cda}$(3)
$\frac{1}{d^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3} \ge \frac{3}{dab}$(4)
$\oplus$Cộng các về của (1)(2)(3)(4),ta được:
$\sum \frac{1}{a^3} \ge \sum \dfrac{1}{abc} =\dfrac{a+b+c+d}{abcd}$
$\oplus$Vậy $\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+\dfrac{1}{d^3} \ge \dfrac{a+b+c+d}{abcd}$
$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$ $\blacksquare$
$$Q.e.D$$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#60 no matter what

no matter what

    Why not me

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-12-2012 - 18:49

Bài 30:
$Solution$
$\oplus$Vì vai trò của $a,b,c$ là như nhau,nên giả sử $a \le b \le c$
$\Longrightarrow a+b \ge a+a=2a$
$\Longleftrightarrow \frac{a}{a+b} \le \frac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow \sqrt{\frac{a}{a+b}} \le \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\oplus$Thiết lập các bất đẳng thức tương tự,ta được:
$\sum \sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \le \frac{3}{\sqrt{2}}$
$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$$\blacksquare$
$$Q.e.D$$
___________
Bài của em dạo này màu mè phết nhỉ :D

Bài này giải "hơi lỗi" 1 tí em à :icon6:
BĐT trên là BĐT hoán vị nên không giả sử được như vậy,ta chỉ có thể giả sử a là min(hoặc max) thôi :icon6:
Xl anh đưa bài này vào box này-tuy rằng nó có thể giải dc bằng AM-GM nhưng khó
lời giải đẹp nhất cho nó là C-S,em có thể tham khảo với 4 ẩn ở đây ? :wacko: http://diendantoanho...leq-frac4sqrt3/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 11-12-2012 - 18:53





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh