Chủ đề này có 339 trả lời

[badboykmhd123456]

tổng hợp pic thành file pdf để dễ download 

File gửi kèm

•  BĐT AM-GM - Trang 10 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học.pdf   3.64MB   678 Số lần tải

[mrmathnguyenthuonghien]

không biết Olympic 30/4 năm nay có dính phần này không nữa

[4869msnssk]

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện abc=1

cmr $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

[Trang Luong]

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện abc=1

cmr $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

Đề bài nhầm rồi phải là $a+b+c=1$ thì mới ra  $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

Làm theo đề bài đúng nhé

Áp dụng BĐT Am-Gm:

Ta có :$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{bc}{2(a+b)}+\frac{bc}{2(a+c)}$$\Rightarrow \sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}\leq \frac{bc+ac}{2(a+b)}+\frac{bc+ab}{2(a+c)}+\frac{ab+ac}{2(b+c)}=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 07-09-2013 - 16:25

[Cao thu]

Bài tiếp:

Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 22-11-2013 - 21:31

[tontrungson]

 Tìm Min A=\sqrt{2x^{2}+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x với x\geq -\tfrac{1}{2}

nhanh nha mình cần gấp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tontrungson: 27-11-2013 - 00:34

[nguyenhongsonk612]

4,(Crech and Slovak 2000) :Chứng minh BĐT sau với mọi a,b ko âm
$\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\leq \sqrt[3]{2(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$

Ta chia cả 2 vế cho VP của bđt cần C/m. BĐT cần cm tương đương với:

Tương tự với BĐT kia, rồi cộng vế với vế ta có đpcm. 

P/s: Lười gõ latex nên mới ngắn gọn thế này!

[dotandung]

 Tìm Min A=\sqrt{2x^{2}+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x với x\geq -\tfrac{1}{2}

nhanh nha mình cần gấp

viết như thế này sao làm?

[nguyenhongsonk612]

5,Với mọi x,y,z có $x+2y+3z=\frac{1}{4}$,tìm MAX
$\frac{232y^3-x^3}{2xy+24y^2}+\frac{783z^3-8y^3}{6yz+54z^2}+\frac{29x^3-27z^3}{3xz+6x^2}$

Mình xin làm câu này. 

Đặt $x=a;2y=b;3z=c$. $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{b}{2} & & \\ z= \frac{c}{3} & & \end{matrix}\right.$ và $a+b+c=\frac{1}{4}$

Biểu thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{29b^{3}-a^{3}}{ab+6b^{2}}+\frac{29c^{3}-b^{3}}{bc+6c^{2}}+\frac{29a^{3}-c^{3}}{ac+6a^{2}}$. Đến đây ta chứng minh biểu thức này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1 là ra max thôi! Cách chứng minh đã có ở http://diendantoanho...n-a-b-c-frac14/   mời các bạn vào tham khảo!!! 

[synovn27]

ĐÈ NGHỊ 2
Chứng minh với mọi a,b,c $0\leq a,b,c\leq \frac{1}{2}$ thỏa mãn $a+b+c=1$ thì
$\frac{1}{a(2b+2c-1)}+\frac{1}{b(2c+2a-1)}+\frac{1}{c(2a+2b-1)}\geq 27$
(Bài đã nêu ở mục 3(Rất tiếc đề nghị 1 vẵn chưa ai giải)

mình làm đn 1

không biết bạn đã chữa chưa nhưng mình làm cho vui

bài này biến đổi tương đương cái đã

\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}} \leq \sqrt[3]{2\left ( a+b \right )}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )

 

 lập phương hai vế lên ta sẽ có

 

 

2\left ( a+b \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}

 

nhân tung ra rồi rút gọn lại ta có

 

4+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}

ta ghép \frac{a}{b}+1+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}

\frac{b}{a}+1+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{b}{a}}

 

cộng vế theo vế của bđt ta sẽ có đpcm

 

 

               

 

[Kaito Kuroba]

Bài tiếp:

Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

$xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\Leftrightarrow xy^2+x^2\frac{1}{z}+y\frac{1}{z^2}=3$

$\Rightarrow P=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+z^4}$

 

ta có: $\sum \left ( x^4+y^4+1+1 \right )\geq 4\sum xy^2$

$\Rightarrow x^4+y^4+\frac{1}{z^4}\geq \frac{4}{3}\left ( xy^2+y\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}x^2 \right )=3\Rightarrow MaxP=\frac{1}{3};"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[shinichikudo201]

tổng hợp pic thành file pdf để dễ download 

sao mình download lại bị lỗi $file not found$???

[nk0kckungtjnh]

sao mình download lại bị lỗi $file not found$???

Bạn có thể download lại ở đây nhé: https://www.mediafir...sb9e45e5st3pgpd

[shinichikudo201]

Bạn có thể download lại ở đây nhé: https://www.mediafir...sb9e45e5st3pgpd

vẫn bị

[anh1999]

 Tìm Min A=\sqrt{2x^{2}+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x với x\geq -\tfrac{1}{2}

nhanh nha mình cần gấp

 

theo mình nghĩ đề sẽ như thế này Tìm Min$A=\sqrt{2x^{2}+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x$ với $x\geq -\frac{1}{2}$

[huyhoangfan]

Anh Quang à ! Anh có lòng vậy thì anh chém hộ em luôn cái bài này nha . Lớp 8 thôi ?
Câu 1 :
Cho $a,b,c > 0 ; a+b+c \leq 1$ . Chứng minh rằng :
$\frac{1}{a^{2}+2bc} + \frac{1}{b^{2}+2ca} + \frac{1}{c^{2}+ 2ab}$ $\frac{1}{a^{2}+2bc} + \frac{1}{b^{2}+2ca} + \frac{1}{c^{2}+ 2ab}\geq 9$

Còn nhiều bài nữa cơ thực ra thì em cũng có biết chút về cái này tôi Cho em làm một chân nha !
 

Đặt a² +2bc =x; b²+ 2ac =y; c²+2ab=z.

*khi đó x+y+z = a²+ 2bc+ b²+ 2bc+ c²+ 2ac =(a+b+c)² $\leq$1

bài toán trở thành: Cho x,y,z $\leq$0 ; x+y+z =1

C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 9$

ta có: $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}$

nhân 2 vế ta được $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$

mà x+y+z$\leq$1 => $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 9(dpcm)$

[huyhoangfan]

Câu 2 :
Cho $a;b;c \geq 0 ; a+b+c =1$
Chứng minh rằng :
a, $\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} +\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}$
b, $\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1}< 3,5$
 

câu a, đã có ở đây

câu b,

AD BĐT AM-GM cho a+1 và 1

(a+1) +1 $\geq$ 2$\sqrt{a+1}$ $\Leftrightarrow \sqrt{a+1}\leq\frac{(a+1)+1}{2}=\frac{a}{2}+1$

tương tự: $\sqrt{b+1}\leq \frac{b}{2}+1 ; \sqrt{c+1}\leq \frac{c}{2}+1$

* cộng từng vế ta được: $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\leq \frac{a+b+c}{2}+3=3,5$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0 trái với GT: a+b+c =1 

Vậy $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5$.

[Namthemaster1234]

Về cái bài toán CM $(a+b+c)(ab+ac+bc)\geq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$  (*). Mình làm thế này thì thấy nó chỉ xảy ra khi abc dương

Ta có $(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)$ (1)

Dựa vào (1) ta phân tích được bất đẳng thức thành CM : $(ab+ac+bc)(a+b+c)\geq 8abc$

Thật vậy ta có $ab+ac+bc\geq \sqrt{ab}.c+\sqrt{bc}.a+\sqrt{ac}.b$ và $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$

Nên ta có (*)$\geq (\sqrt{ab}c+\sqrt{ac}.b+\sqrt{bc}.a)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Lần lượt đặt $\sqrt{ab};\sqrt{bc};\sqrt{ac}$ là x , y , z. ta có Theo BĐT Bunhacopxki (*)  $\geq (x+y+z)(xc+ya+zb)\geq (\sqrt{x}\sqrt{x}c+\sqrt{y}\sqrt{y}a+\sqrt{z}\sqrt{z}b)^2= (3\sqrt{abc})^2= 9abc \geq 8abc$ (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 07-07-2014 - 09:25

[killerdark68]

Bái 1/cho a,b,c,d>0.cmr $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$

Bài 2/ cho a,b,c>0 và  a+b+c=6.Cmr A=$(1+\frac{1}{a^3})+(1+\frac{1}{b^3})+(1+\frac{1}{c^3})\geq \frac{729}{512}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 24-07-2014 - 13:35

[lehoangphuc1820]

Bài 2/ a,cho a,b,c>0 và  a+b+c=6.Cmr $(1+\frac{1}{a^3})+(1+\frac{1}{b^3})+(1+\frac{1}{c^3})\geq \frac{729}{512}$

Có: $a+b+c=6\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 8$

$(1+\frac{1}{a^3})+(1+\frac{1}{b^3})+(1+\frac{1}{c^3})=(1+1+1)+(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\geq 3+\frac{3}{abc}\geq 3+\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$

Dấu bằng khi $a=b=c=2$

Bạn xem lại đề