Bài 71:Cho $x,y,z\in R^{+}$ thỏa:
$a)$ $2x+4y+7z=2xyz$.Tìm min của biểu thức:$P=x+y+z$
$b)$ $ax+by+cz=xyz$ (với $a,b,c$ là hằng số dương).Tìm min của biểu thức:$P=x+y+z$
Bài 72:Cho các hằng số dương $m,n$ và $x,y,z\in R$ thỏa $xy+yz+zx=1$.Tìm min của biểu thức:$P=x^{2}+my^{2}+nz^{2}$
Bài 73:Cho $a,b,c> 0$ thỏa $a\geq max$ {$b,c$}.Tìm min của:
$$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$$
Bài 74:Chứng minh với mọi $0\leq x\leq 1$,ta có:
$$x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 16$$
Mình góp cách giải bài 73. Kết quả lẻ nhưng đẹp. Mình mới dùng laTex nên có sai sót mong mọi người chỉ bảo ạ.
Dự đoán điểm rơi: $a = b = c$
Để cho dễ, mình gọi $x = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}$, $y = \sqrt[6]{2}$
Biến đổi $P = x.\frac{a + b}{b} + \sqrt{1 + \frac{b}{c}} + \sqrt{1 + \frac{b}{c}} + y\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} + y\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} + y\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} + (1 - x)\frac{a + b}{b} + (3 - 3y)\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} - 1$
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 6 số dương (đầu tiên) và sử dụng giả thiết $a \geq max${$b, c$} được:
$P \geq 6\sqrt[6]{\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}} + 2(1 - x) - 3(y - 1)\sqrt[3]{2} - 1$ (Để ý là $\frac{c}{a} \leq 1$, mà $3 - 3y$ < 0 nên ta lật dấu lại có được như trên)
$\Leftrightarrow P \geq 6\sqrt[6]{8} + 1 - 2x - 3y\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt[3]{2}$ (Lưu ý: $\sqrt[6]{8} = \sqrt{2}$; $2x = \sqrt{2}$; $y\sqrt[3]{2} = \sqrt{2}$)
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathCrave: 30-04-2024 - 17:27
