Chủ đề này có 6 trả lời

[chaugaihoangtuxubatu]

Với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Cm các bđt sau :
$a^2+b^2+c^2<2ab+2bc+2ca$
và $a^4+b^4+c^4<2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$

[Kienlai]

Bài 1:( bài 2 tương tự)
Do a,b,c là chiều dài 3 cạnh tam giác
$$\Rightarrow a< b+c$$
$$b< a+c$$
$$c< a+b$$
$$\Rightarrow a^{2}< a(b+c)$$
$$b^{2}< b(a+c)$$
$$c^{2}< c(a+b)$$
Cộng từng vế ta có bất dẳng thức cần chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kienlai: 20-11-2012 - 16:04

[Oral1020]

Bài 2
Bạn xem $\sum a^4$ như là $\sum (a^2)^2$ và áp dụng bài 1 ta cũng có dpcm

[tramyvodoi]

Góp thêm 1 bài nhé :
Với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh :
$2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4 \geq 0$

[L Lawliet]

Góp thêm 1 bài nhé :
Với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh :
$2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4 \geq 0$

Áp dụng kết quả câu 2 và ta chuyển vế qua là được bất đẳng thức nhưng lưu ý là dấu $"="$ xảy ra khi:
$$\left\{\begin{matrix} a=b+c & \\ b=c+a \\ c=a+b & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ b=0 \\ c=0 & \end{matrix}\right.$$
(Khi đó tam giác $ABC$ suy biến).

[chaugaihoangtuxubatu]

Bài 1:( bài 2 tương tự)
Do a,b,c là chiều dài 3 cạnh tam giác
$$\Rightarrow a< b+c$$
$$b< a+c$$
$$c< a+b$$
$$\Rightarrow a^{2}< a(b+c)$$
$$b^{2}< b(a+c)$$
$$c^{2}< c(a+b)$$
Cộng từng vế ta có bất dẳng thức cần chứng minh

Bài 2
Bạn xem $\sum a^4$ như là $\sum (a^2)^2$ và áp dụng bài 1 ta cũng có dpcm

Cho mình hỏi, với a,b,c là 3 cạnh tam giác thì $a^2,b^2,c^2$ có là 3 cạnh của tam giác để làm tương tự ko nhỉ? VD: 3 cạnh tm bđt tam giác là 4;7;9 thì $4^2+7^2>9^2$?

[chaugaihoangtuxubatu]

$a^{2},b^{2},c^{2}$ không thể là 3 cạnh của 1 tam giác được. VD:$2^{2}+4^{2}< 5^{2}$

Chắc chắn là thế rồi, vậy thì bài 2 giải quyết như thế nào đc nhỉ?