Chứng minh rằng có vô hạn các số có dạng $a_n=2^n-3$ ($n \geq 2$) đôi một nguyên tố cùng nhau
Chứng minh rằng có vô hạn các số có dạng $a_n=2^n-3$ ($n \geq 2$) đôi một nguyên tố cùng nhau
Bắt đầu bởi minhdat881439, 20-11-2012 - 18:50
#1
Đã gửi 20-11-2012 - 18:50
minhdat881439
-
- Thành viên
-
- 473 Bài viết
Sĩ quan
- nhungvienkimcuong yêu thích
Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng
Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF
#2
Đã gửi 20-11-2012 - 19:46
minhtuyb
-
- Thành viên
-
- 470 Bài viết
Giả ngu chuyên nghiệp
Xét : $n>1$ thì $a_n$ lẻ. Ta có hai giá trị khởi đầu:Chứng minh rằng có vô hạn các số có dạng $a_n=2^n-3$ ($n \geq 2$) đôi một nguyên tố cùng nhau
$$a_2=1;a_3=5\Rightarrow (a_2;a_3)=1$$
Ta sẽ chứng minh: Giả sử ta chọn được dãy $b_1,b_2,...,b_k$ là dãy con của dãy $a_n$ thỏa mãn các phần tử của dãy đôi một nguyên tố cùng nhau. Ta sẽ chứng minh $\exists b_{k+1}$ đôi một nguyên tố cùng nhau với $b_1,b_2,...,b_k$. Thật vậy, đặt:
$$A=b_1.b_2....b_k\\ \Rightarrow (A,2)=1$$
Áp dụng định lí Euler:
$$2^{\varphi(A)}-1\vdots A$$
Mà $A$ lẻ $\Rightarrow (2^{\varphi(A)}-3,A)=1\Rightarrow 2^{\varphi(A)}-3$ đôi một nguyên tố cùng nhau với $b_1,b_2,...,b_k$.
Vậy ta chọn $b_{k+1}=\varphi(A)$.
Ta đã c/m được sự vô hạn của dãy $b_k$. Vậy mệnh đề được c/m $\square$
- perfectstrong, minhdat881439, reddevil1998 và 1 người khác yêu thích
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
