Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh 4 điểm B1,B2,P,L đồng viên.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hola0905

hola0905

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) ngoài nhau,có A1 A2 là đoạn tiếp tuyến chung với A1 thuộc (O1) và A2 thuộc (O2).Gọi K là trung điểm đoạn A1A2 .Vẽ 2 tiếp tuyến KB1 đến (O1),KB2 đến (O2).Gọi L là giao điểm của A1B1 và AB2 ; P là giao điểm cua KL với O1O2 .Chứng minh 4 điểm B1,B2,P,L đồng viên.

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết
Lời giải:
Bỏ qua trường hợp đơn giản là $R_{(O_1)}=R_{(O_2)}$. Xét $R_{(O_1)}\ne R_{(O_2)}$. Khi đó, $A_1A_2$ cắt $O_1O_2$ tại $I$.
Vẽ $IB_1$ cắt $(O_2)$ tại $B_2',B_1'$ sao cho $B_2'$ nằm giữa $B_1;B_1'$.
Dễ thấy $A_1B_1 \parallel A_2B_1'$ nên theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{{\overline {IB_1 } }}{{\overline {IB_1 '} }} = \frac{{\overline {IA_1 } }}{{\overline {IA_2 } }}
\]
Lại theo hệ thức phương tích thì:
\[
\begin{array}{l}
\overline {IA_2 } ^2 = \overline {IB_1 '} .\overline {IB_2 '} \Rightarrow \overline {IB_2 '} = \frac{{\overline {IA_2 } ^2 }}{{\overline {IB_1 '} }} \\
\Rightarrow \overline {IB_1 } .\overline {IB_2 '} = \frac{{\overline {IB_1 } }}{{\overline {IB_1 '} }}.\overline {IA_2 } ^2 = \overline {IA_2 } .\overline {IA_1 }\end{array}
\]
Do đó $A_1;B_1;B_2';A_2$ đồng viên $\Rightarrow \angle A_1B_2'A_2=\angle A_1B_1A_2=90^o$.
Hình đã gửi
$K$ là trung điểm $A_1A_2$ nên suy ra $KB_2'=KA_2$. Suy ra $KB_2'$ cũng là tiếp tuyến của $(O_2)$ khác $KA_2$ nên $B_2' \equiv B_2$, hay $I;B_1;B_2$ thẳng hàng.
Mặt khác: $P_{K/(O_1)}=\overline{KA_1}^2=\overline{KA_2}^2=P_{K/(O_2)}$ nên $K$ thuộc trục đẳng phương $(\Delta)$ của $(O_1);(O_2)$.
Gọi $(K)$ là đường tròn đi qua $A_1;A_2;B_1;B_2$.
Ta có: $A_1B_1;A_2B_2;\Delta$ thứ tự là trục đẳng phương của cặp đường tròn $((K);(O_1));((K);(O_2));((O_1);(O_2))$ nên $A_1B_1;A_2B_2;\Delta$ đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà $A_1B_1 \cap A_2B_2=L \Rightarrow L \in \Delta \Rightarrow KL \perp O_1O_2 \Rightarrow \angle KPI=90^o$.
Vẽ $T$ là giao điểm của $IB_1$ với $(O_1)$ mà $T \ne B_1$ thì $A_1T \parallel A_2B_2$.
Ta có: $\angle KB_1O_1=\angle KPO_1=90^o \Rightarrow K;P;B_1;O_1$ đồng viên.
$\Rightarrow (PB_1;PL) \equiv (O_1B_1;O_1K) \equiv \dfrac{1}{2}(O_1B_1;O_1A_1) \equiv (TB_1;TA_1) \pmod {\pi}$
$A_1T \parallel A_2B_2 \Rightarrow (TB_1;TA_1) \equiv (B_2B_1';B_2A_2) \equiv (B_2B_1;B_2L) \pmod {\pi}$
$\Rightarrow (PB_1;PL) \equiv (B_2B_1B_2L) \pmod {\pi}$
$\Rightarrow P;B_1;L;B_2$ đồng viên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-11-2012 - 20:56

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh