Chủ đề này có 4 trả lời

[jb7185]

Nhận dạng $\Delta ABC$ biết:
$\frac{tan\frac{A}{2}}{1+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}+\frac{tan\frac{B}{2}}{1+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}}+\frac{tan\frac{C}{2}}{1+tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}=$
$=\frac{1}{4tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}$
@tramy : Chú ý tiêu đề nếu không tôi buộc phải khóa topic này lại !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 27-11-2012 - 20:19

[dark templar]

Nhận dạng $\Delta ABC$ biết:
$\frac{tan\frac{A}{2}}{1+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}+\frac{tan\frac{B}{2}}{1+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}}+\frac{tan\frac{C}{2}}{1+tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}=$
$=\frac{1}{4tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}$

Đã từng giải bài này lâu lắm rồi nhưng giờ không kiếm được link Post sơ sơ cách giải cho bạn vậy:
Dễ có công thức sau:
$$\tan{\frac{A}{2}}=\frac{r}{p-a};\tan{\frac{B}{2}}=\frac{r}{p-b};\tan{\frac{C}{2}}=\frac{r}{p-c}$$
$$\frac{r}{p}=\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}$$
Bằng các công thức trên,ta đưa đẳng thức về dạng:
$$\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{b+c}+\frac{(b+c-a)(b+a-c)}{a+c}+\frac{(c+a-b)(c+b-a)}{a+b}=p$$
Xét phép đổi biến $x=a+c-b;y=a+b-c;z=b+c-a$ thì:
$$\frac{xy}{x+y+2z}+\frac{yz}{y+z+2x}+\frac{zx}{z+x+2y}=\frac{x+y+z}{4}$$
Đến đây xài C-S là xong rồi Kết quả là tam giác ABC đều.

[jb7185]

Đã từng giải bài này lâu lắm rồi nhưng giờ không kiếm được link Post sơ sơ cách giải cho bạn vậy:
Dễ có công thức sau:
$$\tan{\frac{A}{2}}=\frac{r}{p-a};\tan{\frac{B}{2}}=\frac{r}{p-b};\tan{\frac{C}{2}}=\frac{r}{p-c}$$
$$\frac{r}{p}=\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}$$
Bằng các công thức trên,ta đưa đẳng thức về dạng:
$$\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{b+c}+\frac{(b+c-a)(b+a-c)}{a+c}+\frac{(c+a-b)(c+b-a)}{a+b}=p$$
Xét phép đổi biến $x=a+c-b;y=a+b-c;z=b+c-a$ thì:
$$\frac{xy}{x+y+2z}+\frac{yz}{y+z+2x}+\frac{zx}{z+x+2y}=\frac{x+y+z}{4}$$
Đến đây xài C-S là xong rồi Kết quả là tam giác ABC đều.

Cảm ơn bạn rất nhiều.
Sáng nay thầy giáo mình cũng vừa chữa một cách khác mình post lên luôn cho bạn nào muốn tham khảo thì xem nha:
Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=tan\frac{A}{2}\\ y=tan\frac{B}{2}\\ z=tan\frac{C}{2}\end{matrix}\right.$ thì ta có: $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xy+yz+zx=1\end{matrix}\right.$
Giả thiết bài cho trở thành:
$\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}=\frac{1}{4xyz}$ $(1)$
Áp dụng BĐT: $\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ có:
$\frac{x}{1+yz}=\frac{x}{xy+yz+zx+yz}\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{xy+yz}+\frac{x}{zx+yz})$
$\frac{y}{1+zx}\leq \frac{1}{4}(\frac{y}{zx+xy}+\frac{y}{zx+yz})$
$\frac{z}{1+xy}\leq \frac{1}{4}(\frac{z}{xy+yz}+\frac{z}{xy+zx})$
Cộng theo từng vế của 3 BĐT trên ta có:
$VT(1)\leq \frac{1}{4}(\frac{x+y}{yz+zx}+\frac{y+z}{xy+zx}+\frac{z+x}{xy+yz})=$
$=\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{xy+yz+zx}{4xyz}=\frac{1}{4xyz}=VP(1)$
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z \Leftrightarrow$ tam giác $ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 22-11-2012 - 13:16

[cool hunter]

Ai c/m cái $\frac{r}{p}=tan\frac{ A}{2}tan \frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}$ thử xem. Công thức này có vẻ đẹp, có thể mở rông cho sin, cos, cotan k nhỉ?

[dark templar]

Ai c/m cái $\frac{r}{p}=tan\frac{ A}{2}tan \frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}$ thử xem. Công thức này có vẻ đẹp, có thể mở rông cho sin, cos, cotan k nhỉ?

Chứng minh cái đẳng thức trên có rất nhiều cách,có thể sử dụng công thức $\tan \frac{A}{2}=\frac{r}{p-a}$ và công thức Herone:$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$.
Đẳng thức còn xuất phát từ 2 đẳng thức "con con" như sau:

• $r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
• $p=4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.