Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2...a_{n})^{\frac{1}{n}} \le e.M$$

- - - - - for all.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài toán: Ta xét 1 dãy các số thực không âm $\{a_{n} \}_{1}^{\infty}$.Chứng minh BĐT sau:
$$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2...a_{n})^{\frac{1}{n}} \le e\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$
Viết dưới dạng tích phân:
Với mọi hàm $f \ge 0$ thì ta có:
$$\int_{0}^{\infty}\exp{\left(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\ln{f(t)}dt \right)}dx \le e\int_{0}^{\infty}f(x)dx$$
Trong đó :$\exp{u}=e^{u}$. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-11-2012 - 21:01

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài toán: Ta xét 1 dãy các số thực không âm $\{a_{n} \}_{1}^{\infty}$.Chứng minh BĐT sau:
$$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2...a_{n})^{\frac{1}{n}} \le e\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$
Viết dưới dạng tích phân:
Với mọi hàm $f \ge 0$ thì ta có:
$$\int_{0}^{\infty}\exp{\left(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\ln{f(t)}dt \right)}dx \le e\int_{0}^{\infty}f(x)dx$$
Trong đó :$\exp{u}=e^{u}$. :)

Đây là bất đẳng thức Carleman mọi người có thể xem lời giải ở đây hoặc đây.
Bài này có vẻ khó hơn :luoi:
Chứng minh rằng tồn tại hằng số thực dương $C$ sao cho với mọi chuỗi số thực dương hội tụ $\sum a_n$ ta có
$$\sum _{n=1}^{\infty }.(a_1a_2...a_n)^{\frac{1}{n}}\le C.\sum_{n=1}^{\infty }a_n$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: for all.

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh