Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 23-11-2012 - 17:31
Chứng minh $\sin 1^{\circ}$ là một số vô tỉ
#1
Đã gửi 21-11-2012 - 21:32
#2
Đã gửi 21-11-2012 - 21:50
Chứng minh $sin1^{o}$ là một số vô tỉ.
Gợi ý:
Giả sử ngược lại, $\sin 1$ là số hữu tỉ.
Dễ dàng chứng minh được các kết quả chỉ bằng công thức: $\sin 3, \sin 6, \sin 27, \cos 3, \cos 27$ hữu tỉ.
Suy ra $cos(27+3)$ hữu tỉ, điều này vô lý. $\to Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 23-11-2012 - 17:32
- chaugaihoangtuxubatu, Khanh 6c Hoang Liet và NS 10a1 thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#3
Đã gửi 21-11-2012 - 21:57
Em thấy rất hứng thú với bài toán này, nhưng em mới học lớp 9 nên chưa hiểu cho lắm, anh có thể giảng kĩ hơn giúp em đc ko ạ? Em cảm ơn.Gợi ý:
Giả sử ngược lại, $\sin 1$ là số hữu tỉ.
Dễ dàng chứng minh được các kết quả chỉ bằng công thức: $\sin 3, \sin 6, \sin 27, \cos 3, \cos 27$ hữu tỉ.
Suy ra $cos(27+3)$ hữu tỉ, điều này vô lý. $\to Q.E.D$
___
NLT
@tramy : Cảm ơn em đã có tinh thần yêu toán học.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 22-11-2012 - 20:48
- tramyvodoi và Khanh 6c Hoang Liet thích
#4
Đã gửi 21-11-2012 - 21:58
Chứng minh $sin1^{o}$ là một số vô tỉ.
Lời giải: Ta có: $90^\circ=3.18^\circ+2.18^\circ$.Em thấy rất hứng thú với bài toán này, nhưng em mới học lớp 9 nên chưa hiểu cho lắm, anh có thể giảng kĩ hơn giúp em đc ko ạ? Em cảm ơn.
Nên $\cos 2.18\circ=\sin 3.18\circ$.
Suy ra $1-2\sin ^{2}18^\circ=3\sin 18^\circ-4\sin ^{3}18^\circ$.
Đặt $t=\sin 18^\circ>0$, khi đó $t$ là nghiệm của phương trình:
$$4t^{3}-2t^{2}-3t+1=0\\ \Leftrightarrow \left ( t-1 \right )\left ( 4t^{2}+2t-1 \right )=0$$
Vì $\sin 18^\circ\neq 1$ và $t>0$ nên $t=\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$.
Giả sử $\sin 1^\circ$ là số hữu tỷ, suy ra $\sin 3^\circ=3\sin 1^\circ-4\sin ^{3}1^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Như vậy lần lượt ta có $\sin 9^\circ=3\sin 3^\circ-4\sin ^{3}3^\circ$, $\sin 27^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$, $\sin 81^\circ=3\sin 27^\circ-4\sin ^{3}27^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Do đó $\sin 18^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Mà $\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ nên $\sqrt{5}$ là số hữu tỷ (vô lí).
Vậy ta có $\sin 1^\circ$ phải là số vô tỷ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 23-11-2012 - 17:32
- NLT, chaugaihoangtuxubatu, Dramons Celliet và 2 người khác yêu thích
Thích ngủ.
#5
Đã gửi 28-04-2014 - 20:00
có nhầm lẫn không khi 18=9.2 mà lại dùng công thức nhân 3???????????????????????????????
#6
Đã gửi 28-04-2014 - 23:02
Lời giải: Ta có: $90^\circ=3.18^\circ+2.18^\circ$.
Nên $\cos 2.18\circ=\sin 3.18\circ$.
Suy ra $1-2\sin ^{2}18^\circ=3\sin 18^\circ-4\sin ^{3}18^\circ$.
Đặt $t=\sin 18^\circ>0$, khi đó $t$ là nghiệm của phương trình:
$$4t^{3}-2t^{2}-3t+1=0\\ \Leftrightarrow \left ( t-1 \right )\left ( 4t^{2}+2t-1 \right )=0$$
Vì $\sin 18^\circ\neq 1$ và $t>0$ nên $t=\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$.
Giả sử $\sin 1^\circ$ là số hữu tỷ, suy ra $\sin 3^\circ=3\sin 1^\circ-4\sin ^{3}1^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Như vậy lần lượt ta có $\sin 9^\circ=3\sin 3^\circ-4\sin ^{3}3^\circ$, $\sin 27^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$, $\sin 81^\circ=3\sin 27^\circ-4\sin ^{3}27^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Do đó $\sin 18^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Mà $\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ nên $\sqrt{5}$ là số hữu tỷ (vô lí).
Vậy ta có $\sin 1^\circ$ phải là số vô tỷ.
có nhầm lẫn không khi 18=9.2 mà lại dùng công thức nhân 3???????????????????????????????
Mình đồng ý với bạn fcb.Chưa kể việc xét $\sin18$ kiến mất tự nhiên.
Bài toán này đã có nhiều sách viết và chúng đều đi từ các ví dụ đển đi đến kết luận trên.
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh