Chủ đề này có 5 trả lời

[tramyvodoi]

Chứng minh $\sin 1^{\circ}$ là một số vô tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 23-11-2012 - 17:31

[NLT]

Chứng minh $sin1^{o}$ là một số vô tỉ.

Gợi ý:

Giả sử ngược lại, $\sin 1$ là số hữu tỉ.
Dễ dàng chứng minh được các kết quả chỉ bằng công thức: $\sin 3, \sin 6, \sin 27, \cos 3, \cos 27$ hữu tỉ.
Suy ra $cos(27+3)$ hữu tỉ, điều này vô lý. $\to Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 23-11-2012 - 17:32

[chaugaihoangtuxubatu]

Gợi ý:

Giả sử ngược lại, $\sin 1$ là số hữu tỉ.
Dễ dàng chứng minh được các kết quả chỉ bằng công thức: $\sin 3, \sin 6, \sin 27, \cos 3, \cos 27$ hữu tỉ.
Suy ra $cos(27+3)$ hữu tỉ, điều này vô lý. $\to Q.E.D$

___
NLT

Em thấy rất hứng thú với bài toán này, nhưng em mới học lớp 9 nên chưa hiểu cho lắm, anh có thể giảng kĩ hơn giúp em đc ko ạ? Em cảm ơn.
@tramy : Cảm ơn em đã có tinh thần yêu toán học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 22-11-2012 - 20:48

[L Lawliet]

Chứng minh $sin1^{o}$ là một số vô tỉ.

Em thấy rất hứng thú với bài toán này, nhưng em mới học lớp 9 nên chưa hiểu cho lắm, anh có thể giảng kĩ hơn giúp em đc ko ạ? Em cảm ơn.

Lời giải: Ta có: $90^\circ=3.18^\circ+2.18^\circ$.
Nên $\cos 2.18\circ=\sin 3.18\circ$.
Suy ra $1-2\sin ^{2}18^\circ=3\sin 18^\circ-4\sin ^{3}18^\circ$.
Đặt $t=\sin 18^\circ>0$, khi đó $t$ là nghiệm của phương trình:
$$4t^{3}-2t^{2}-3t+1=0\\ \Leftrightarrow \left ( t-1 \right )\left ( 4t^{2}+2t-1 \right )=0$$
Vì $\sin 18^\circ\neq 1$ và $t>0$ nên $t=\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$.
Giả sử $\sin 1^\circ$ là số hữu tỷ, suy ra $\sin 3^\circ=3\sin 1^\circ-4\sin ^{3}1^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Như vậy lần lượt ta có $\sin 9^\circ=3\sin 3^\circ-4\sin ^{3}3^\circ$, $\sin 27^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$, $\sin 81^\circ=3\sin 27^\circ-4\sin ^{3}27^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Do đó $\sin 18^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Mà $\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ nên $\sqrt{5}$ là số hữu tỷ (vô lí).
Vậy ta có $\sin 1^\circ$ phải là số vô tỷ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 23-11-2012 - 17:32

[fcb]

có nhầm lẫn không khi 18=9.2 mà lại dùng công thức nhân 3???????????????????????????????

[caybutbixanh]

Lời giải: Ta có: $90^\circ=3.18^\circ+2.18^\circ$.
Nên $\cos 2.18\circ=\sin 3.18\circ$.
Suy ra $1-2\sin ^{2}18^\circ=3\sin 18^\circ-4\sin ^{3}18^\circ$.
Đặt $t=\sin 18^\circ>0$, khi đó $t$ là nghiệm của phương trình:
$$4t^{3}-2t^{2}-3t+1=0\\ \Leftrightarrow \left ( t-1 \right )\left ( 4t^{2}+2t-1 \right )=0$$
Vì $\sin 18^\circ\neq 1$ và $t>0$ nên $t=\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$.
Giả sử $\sin 1^\circ$ là số hữu tỷ, suy ra $\sin 3^\circ=3\sin 1^\circ-4\sin ^{3}1^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Như vậy lần lượt ta có $\sin 9^\circ=3\sin 3^\circ-4\sin ^{3}3^\circ$, $\sin 27^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$, $\sin 81^\circ=3\sin 27^\circ-4\sin ^{3}27^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Do đó $\sin 18^\circ=3\sin 9^\circ-4\sin ^{3}9^\circ$ cũng là số hữu tỷ.
Mà $\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ nên $\sqrt{5}$ là số hữu tỷ (vô lí).
Vậy ta có $\sin 1^\circ$ phải là số vô tỷ.

 

có nhầm lẫn không khi 18=9.2 mà lại dùng công thức nhân 3???????????????????????????????

Mình đồng ý với bạn fcb.Chưa kể việc xét $\sin18$ kiến mất tự nhiên.

Bài toán này đã có nhiều sách viết và chúng đều đi từ các ví dụ đển đi đến kết luận trên.